מספר טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מספר טבעי הוא מספר השייך לקבוצת המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., כלומר מספר חיובי ושלם. יש הכוללים בתחילת המספרים הטבעיים את המספר 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות .

אלה הם המספרים הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

• ספירה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
• סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

קבוצת המספרים הטבעיים היא בת מנייה, כלומר עוצמתה היא (אלף אפס).

[עריכה] בניית המספרים הטבעיים

[עריכה] הבנייה של פרגה (מיוחסת גם לראסל)

הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות: נגדיר כמספר 0 את הקבוצה הריקה {}. כעת נגדיר לכל קבוצה A את העוקב של A, A+ על ידי A+= איחוד של A עם היחידון {A}. לדוגמה:

{{}} היא 1.

{{},{{}}} היא 2.

{{},{{}},{{},{{}}}} היא 3.

וכן הלאה. עתה, נגדיר קבוצה אינדוקטיבית : קבוצה אינדוקטיבית היא קבוצה המכילה את 0 (הקבוצה הריקה) וכן, עבור כל איבר בקבוצה, היא מכילה את העוקב לאיבר. אזי, קבוצת המספרים הטבעיים תהיה חיתוך כל הקבוצות האינדוקטיביות - או, הקבוצה האינדוקטיבית הקטנה ביותר.

על הטבעיים כעת ניתן להגדיר סדר חלקי פשוט באמצעות הכלה (כהגדרתה בתורת הקבוצות), כי קל לראות שאם m ששייך לטבעיים מכיל את n אז m>n.

[עריכה] הבנייה של פאנו

בסיס אקסיומטי למספרים הטבעיים ניתן באמצעות האקסיומות של פאנו, שנקבעו בשנת 1899 על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו, לאחר אלפי שנים של שימוש במספרים טבעיים ללא בסיס אקסיומטי. באקסיומות אלה נעשה שימוש בשלושה מושגים יסודיים שאינם מוגדרים: "מספר טבעי", "0", ו"עוקב". האקסיומות הן:

1. קיים מספר טבעי 0.
2. לכל מספר טבעי a קיים עוקב.
3. אין מספר טבעי שהעוקב שלו הוא 0.
4. למספרים טבעיים שונים יש עוקבים שונים.
5. כל תכונה של 0 שמתקיימת גם לעוקב של כל מספר טבעי בעל תכונה זו, מתקיימת לכל המספרים הטבעיים. אקסיומה זו היא אקסיומת האינדוקציה.

נסמן את העוקב של a בסימון Sa, ונוכל להגדיר את פעולות החיבור והכפל:

• חיבור, שסימנו +, הוא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  •  : החיבור של a ו-0 שווה ל-a.
  •  : החיבור של a והעוקב של b שווה לעוקב של החיבור של a ו-b.
• כפל, שסימנו , הוא פעולה שמקיימת שתי תכונות:
  • 
  •