Természetes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Természetes számoknak nevezzük akár a 0, 1, 2, ... stb. számokat (azaz a nemnegatív egész számokat) akár az 1, 2, 3, ... stb. számokat (vagyis a pozitív egész számokat). A természetes számok halmazát általában az

$\mathbb{N}$

szimbólummal jelöljük, vagy (tipográfiai okokból) ehelyett sokszor az

$\mathbf{N}$

vastagított betűvel.

Vigyázat! Tekintve, hogy egyes matematikai tárgyú írások a természetes számok közé sorolják a nullát, mások nem, így minden esetben figyelmet kell fordítanunk arra, hogy utánanézzünk, az adott kontextusban a szerzők melyik konvenciót alkalmazzák.

Tartalomjegyzék

1 A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika
2 A természetes számok a halmazelméletben
- 2.1 Sztenderd modell
3 Algebrai tulajdonságok
4 Lásd még

[szerkesztés] A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

Bővebben: Peano-aritmetika

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel(egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a $\cdot$ függvényjel, ami a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, ... jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' $\neq$ 0

(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)

(P2) n' = m' $\Rightarrow$ n = m

(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)

(P3) n + 0 = n

(a nulla alaptulajdonsága)

(P4) n + m' = (n + m)'

(összeg rákövetkezője)

(P5) n $\cdot$ 0 = 0

(nullával való szorzás)

(P6) n $\cdot$ m' = (n $\cdot$ m) + n

("elődisztributivitás")

(P7) ( F(0) & (F(n) $\Rightarrow$ F( n' ) ) ) $\Rightarrow$ F(n)

(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

$0\neq 1$

Ezzel természetesen semmi újat nem tudtunk meg a számokról, mint ahogy a formális elméletek nem mondhatanak olyat tárgyukról, amit az informális elméletben ne tudtunk volna. Ám nem is ez a céljuk. A formális tárgyalásmód az elmélet egészéről állít valamit. (Például, hogy ellentmondásmentes-e, vagy axiómái függetlenek-e.)

[szerkesztés] A természetes számok a halmazelméletben

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ , $\cdot$ ) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N $\rightarrow$ N függvény, +:N $\times$ N $\rightarrow$ N, és $\cdot$ :N $\times$ N $\rightarrow$ N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

[szerkesztés] Sztenderd modell

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

$\{ \emptyset, \;\{\emptyset\}, \;\{\emptyset, \{\emptyset\} \},\; \{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}, ... \}$

halmaz. Itt rendre

$0:=\emptyset$

$1:=\{\emptyset\}=\{0\}$

$2:=\{\emptyset, \{\emptyset\} \}=\{0,1\}$

$3:=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\} \} \}=\{0,1,2\}$

...

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

$\aleph_0$

(alef null – itt $\mbox{ }_\aleph$ a héber abc első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

$\omega\,$

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.