Rendszám (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A(z) „Rendszám (halmazelmélet)” lehetséges további jelentéseiről lásd: Rendszám.

A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
2 Alaptulajdonságok
3 Rendszámok osztályozása
- 3.1 Rákövetkező rendszám
- 3.2 Limeszrendszám
4 Műveletek
5 A rendszámok nem alkotnak halmazt,
6 A Neumann-féle rendszámfogalom

[szerkesztés] Definíció

Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.

[szerkesztés] Alaptulajdonságok

Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az α rendszám kisebb a β rendszámnál (jelben α<β), ha a következő igaz: ha (A,<) egy α rendszámú jólrendezett halmaz, (B,<) egy β rendszámú jólrendezett halmaz, akkor (A,<) izomorf (B,<) egy elem által alkotott kezdőszeletével. Erre a relációra a következő tulajdonságok teljesülnek:

irreflexivitás: α<α sosem igaz,
tranzitivitás: ha α<β<γ akkor α<γ,
trichotómia: ha α, β rendszámok, akkor α<β, α=β és β<α közül pontosan az egyik igaz.
jólrendezés: rendszámok tetszőleges nemüres halmazának vagy osztályának van legkisebb eleme.
egy α rendszámnál kisebb rendszámok jólrendezett halmazt alkotnak, melynek rendszáma α.

[szerkesztés] Rendszámok osztályozása

A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.

Ha A üres, akkor a rendszám a nulla.
Ha A-nak van legnagyobb β eleme, akkor a szóbanforgó rendszám β rákövetkezője.
Egyébként pedig limeszrendszám.

[szerkesztés] Rákövetkező rendszám

Ide tarozik az összes véges rendszám (a véges halmazok rendszámai). Két limesz-rendszám közt (ld. lentebb) mindig megszámlálhatóan végtelen sok rákövetkező rendszám található.

[szerkesztés] Limeszrendszám

A legkisebb limeszrendszám a természetes számok rendszáma; jele az ω.

[szerkesztés] Műveletek

[szerkesztés] Összeadás

az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.

Formálisan: ha $\langle(A_i,<_i):i\in B\rangle$ jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az $A=\{\langle i,a_i\rangle:i\in B, a_i\in A_i\}$ halmazon a lexikografikus rendezés ( $\langle i,a_1\rangle<\langle j,a_2\rangle$ , ha $i<j\vee(i=j\wedge a_1<_ia_2)$ ) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük $\left(A_i,<_i\right)$ rendszámai összegének.

Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen $\omega +1 \neq 1+ \omega$ . Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg $1 + ω = ω$ .)

[szerkesztés] Szorzás

[szerkesztés] Hatványozás

[szerkesztés] A rendszámok nem alkotnak halmazt,

hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy α rendszáma, ami eleme lenne R-nek és egyenlő lenne R nála kisebb elemei halmazának rendszámával, ami kisebb, mint R-é – ellentmondás.

[szerkesztés] A Neumann-féle rendszámfogalom

Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az $\in$ reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám: $\emptyset$ , $\{\emptyset\}$ , $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ , ...