Doğal sayılar

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu maddeye veya bölüme, konu hakkında uzman birinin ilgi göstermesi gerekiyor.
Uzman birini bulmakta yardımcı olabilirsiniz; ya da mümkünse sayfayı kendiniz geliştirebilirsiniz.
Ayrıntılar için tartışma sayfasına bakınız.

Doğal sayılar, Ayrıştırılamadı (bilinmeyen fonksiyon\hahahahahahahahahahahahahahahahahahaha): \mathbb{N} = \hahahahahahahahahahahahahahahahahahaha \}

şeklinde sıralanan tam sayılardır. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.

Konu başlıkları

1 Sayı değeri
2 Büyüklük ve küçüklük ilişkileri
3 Doğal sayılarda işlemler
- 3.1 Toplama işlemi
- 3.2 Çarpma işlemi

[değiştir] Sayı değeri

Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.

[değiştir] Basamak değeri

9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının değerleri

Birler basamağının basamak değeri : 1
Onlar basamağının basamak değeri : 10
Yüzler basamağının basamak değeri : 100
Binler basamağının basamak değeri : 1.000
On binler basamağının basamak değeri : 10.000
Yüz binler basamağının basamak değeri : 100.000
Milyonlar basamağının basamak değeri : 1.000.000
On milyonlar basamağının basamak değeri : 10.000.000
Yüz milyonlar basamağının basamak değeri : 100.000.000

Onlu sayma düzeninde bir basamağın değeri sağındaki basamağın 10 katıdır.

Bir rakamın basamak değeri o rakam ile rakamın yazıldığı basamağın değeri çarpılarak bulunur..

[değiştir] Peano Belitleri tanımı

Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.

Sıfır bir doğal sayıdır.
Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır.
Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.
Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir.
Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.

Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin birincisini "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.

[değiştir] ZFC tanımı

Zermelo-Freankel küme kuramı) doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, $n +$ , n $\cup$ {n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.

$0=\emptyset$

$n^+ = n \cup \{ n \}$

Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,

0={}

1={0}

2={0,1}

3={0,1,2}

...

n+1={0,1,...,n}

Bu tanımda iki doğal sayının eşitliği sayıların öğe sayısına dayanır.

Russell'ın farklı bir tanımı daha genel görünebilir:0 DOĞAL SAYIDIR

$0={\emptyset}$ (sıfır, hiç öğesi olmayan tüm kümelerin kümesi)

$n^+ = \{ x \cup \{ y \} \, | \, x \in n \, \text{ve} \, y \not\in x \}$ (n nin ardılı, öğe sayısı n olan tüm kümelerin kümesi)

Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.

[değiştir] Büyüklük ve küçüklük ilişkileri

Doğal sayıların karşılaştırılmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakamı bulunan sayı diğerinden büyüktür.

İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Doğal Sayılar Kümesinde; iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olur.

[değiştir] Doğal sayılarda işlemler

[değiştir] Toplama işlemi

Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır.

Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Toplamsal birim öğe:

a + 0 = a

Toplamanın değişme özelliği:

a + b = b + a

Toplamanın birleşme özelliği:

(a + b) + c = a + (b + c)

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):

(a + b)c = ac + bc

Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse $A r d (n)$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

$a + 0 = a$
$a + A r d (b) = A r d (a + b)$

Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse

a + A r d (0) = a r d (a + 0)

sıfırın adrılı birdir, o halde,

A r d (a) = a + 1

olduğu kolaylıkla görülür.

[değiştir] Çarpma işlemi

Çarpma işlemi ard arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.

Doğal sayılarda çarpma aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

Çarpımsal birim öğe:

a1 = a

Çarpmanın değişme özelliği:

ab = ba

Çarpmanın birleşme özelliği:

(ab)c = a(bc)

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):

c(a + b) = ca + cb

Bir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse $A r d (n)$ gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır: