Karmaşık sayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler

$z = a + \mathbf{i}b\,$

Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup $\mathbf{i}^2=-1$ özelliğini sağlayan sanal birime $\mathbf{i}$ denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde $\mathbf{i}$ yerine, $\mathbf{j}$ kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı $\mathbb{C}$ olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

$z = a + \mathbf{i}\cdot 0 \in \mathbb{R}$

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. $z = 4 - 7\mathbf{i}$ sayısı gerçel kısmı $R e (z) = 4$ , sanal kısmı $I m (z) = - 7$ olan $\mathbb{C}$ uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, $\mathbb{R}$ uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla $\mathbb{C}$ uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

[değiştir] Tanım

Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, $\mathbb{C}$ . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

[değiştir] Kartezyen uzay tanımı

Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı $\mathbf{i}$ ile çarparsak elde ettiğimiz $\mathbf{i} \mathbb{R}$ kümesi önceki $\mathbb{R}$ kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R} \times \mathbf{i} \mathbb{R} \equiv \{ \, ( a,b ) \, | \, a \in \mathbb{R} \, \text{ve} \, b \in \mathbf{i} \mathbb{R} \}$

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer $\mathbb{R}$ yerine tamsayılar cismi $\mathbb{Z}$ alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: $z\in\mathbb{C}$ olmak üzere;

z = (a, b)

Burada açıkça $R e (z) = a$ ve $I m (z) = b$ dir.

[değiştir] Cisim genişlemesi tanımı

Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. $\mathbf{i}$ sayısı $x 2 + 1$ polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de $-\mathbf{i}$ olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

$\mathbb{R}\left(\mathbf{i}\right) \equiv \mathbb{R}\left( -\mathbf{i} \right)$

Bu durumda

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R}\left( \mathbf{i} \right)$

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının $x 2 + 1$ polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

$\mathbb{C} \equiv \mathbb{R} [ X ] / (X^2+1) \equiv \{ \, a + \mathbf{i} b \, | \, a,b \in \mathbb{R} \, \}$

Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü $\mathbf{i}$ karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının $a + \mathbf{i} b$ olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

[değiştir] Matris (dizey) tanımı

Karmaşık sayıları, gerçel katsayılı 2x2'lik matrislerin bir altkümesi olarak düşünebiliriz. Birim sayıları

$\mathbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix}$ ve $\mathbf{i} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix}$

olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı

$\mathbf{z}= \mathbf{a}+ \mathbf{ib} = \mathbf{1} a + \mathbf{i} b = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{bmatrix}$

olarak ifade edilebilir ki burada a,b $\in \mathbb{R}$ alınmıştır. Kaldı ki

$\mathbf{i}^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \;\; -1 \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{bmatrix} = -\mathbf{1}$

olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar

$\mathbb{C} \quad \equiv \quad \mathbb{R}[\mathbf{1},\mathbf{i}] \quad \sub \quad \mathbf{M}_{2 \times 2} \left( \mathbb{R} \right)$

şeklinde tanımlanmış olur.

[değiştir] Karmaşık sayılarda işlem

Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

[değiştir] Eşitlik

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

z = w

ancak

a = c

b = d

iken geçerlidir.

[değiştir] Toplama

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$z + w = ( a + \mathbf{i} b ) + ( c + \mathbf{i} d ) = ( a + c ) + \mathbf{i} ( b + d ) \,$

[değiştir] Çarpma

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$zw = ( a + \mathbf{i} b ) ( c + \mathbf{i} d ) = ac - bd + \mathbf{i} ( bc + ad ) \,$

[değiştir] Eşlenik

Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi $\mathbf{i} \mapsto -\mathbf{i}$ dönüşümüdür ve

$\bar{z} = a - \mathbf{i} b$

ya da matrislerde

$\bar{ \mathbf{z} } = \mathbf{z}^T = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & \;\; a \end{bmatrix}$

olarak tanımlanır.

[değiştir] Eşleniğin cebirsel özellikleri

$\overline {(z+w)} = \overline w + \overline z$
$\overline{ \overline z } = z$
$\overline {(zw)} = \overline w \overline z$
$\overline {(z / w)} = \overline z / \overline w$
$\overline z = z$ ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.

[değiştir] Mutlak Değer

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ karmaşık sayısı için

$|z|^2 = z \bar z = a^2 + b^2$

ya da

$| \mathbf{z} |^2 = \begin{vmatrix} a & -b \\ b & \;\; a \end{vmatrix} = a^2 + b^2$

olarak tanımlıdır.

[değiştir] Mutlak değerin cebirsel özellikleri

$| z | = 0 \,$ ancak $z = 0 \,$ iken geçerlidir.

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$ (üçgen eşitsizliği)

$| z w | = | w | \; | z | \,$

[değiştir] Çarpımsal Ters

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ karmaşık sayısının tersi

$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = {a\over a^2+b^2} - \mathbf{i} {b\over a^2+b^2}$

olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

$\mathbf{z}^{-1} = { 1 \over det \mathbf{z} } \begin{bmatrix} a & b \\ -b & \;\; a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {a\over a^2+b^2} & {b\over a^2+b^2} \\ -{b\over a^2+b^2} & \;\; {a\over a^2+b^2} \end{bmatrix}$

olduğu görülür.

[değiştir] Bölme

Bir $z = a + \mathbf{i} b$ ve $w = c + \mathbf{i} d$ karmaşık sayıları için

$\frac{z}{w} = \frac{ a + \mathbf{i} b }{ c + \mathbf{i} d } = ( a + \mathbf{i} b ) ( c + \mathbf{i} d )^{-1} = \frac{(a + \mathbf{i} b ) ( c - \mathbf{i} d )}{( c + \mathbf{i} d ) ( c - \mathbf{i} d )} = \frac{ ac + bd }{ c^2 + d^2 } + \mathbf{i} \frac{ bc - ad }{ c^2 + d^2 }$