Комплексно число
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Комплексно число е израз от вида a+bi, където a и b са реални числа, а i е имагинерната единица, за която е вярно че i2 = -1. a и b се наричат реална и имагинерна част на числото. Например числото 3+2i има реална част 3 и имагинерна част 2. Реалните числа могат да се представят като комплексни с имагинерна част 0, например 2 = 2+0i.
Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните. Освен това обаче те имат няколко допълнителни свойства, които често правят работата с комплексни числа по-удобна. Едно от тях е, че всеки полином има корен в множеството на комплексните числа. Например решенията на уравнението x2+x+1 = 0 са
Съдържание |
[редактиране] Дефиниция
Множеството на комплексните числа се означава с C или . Формално то се дефинира като множеството на всички наредени двойки реални числа, за които са въведени операции събиране и умножение по следните правила:
С тези две операции множеството на комплексните числа образува поле. Ако z = (a,b) е комплексно число, то с Re z = a се означава реалната част, а с Im z = b - имагинерната част на числото. Множеството на числата от вида (а,0) заедно с така зададените операции е изоморфно на множеството на реалните числа, поради което вместо (a,0) се записва просто a. Имагинерната единица i отговаря на двойката (0,1). Непосредствено се проверява, че
- .
На практика този вид на записване на числата почти не се използва. Най-често те се записват в така наречения алгебричен вид a+ib, който е еквивалентен на формалната дефиниция, както се вижда от равенството:
В този вид събирането, изваждането и умножението се извършват както при реалните числа, прилагайки допълнителното условие i2 = −1:
- (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
- (a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
- (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i
Правилото за делене е по-сложно (вижте по-долу).
[редактиране] Геометрична интерпретация
Комплексните числа могат да се представят като точки или вектори в равнина, снабдена с декартова координатна система, която още се нарича комплексна равнина. В нея векторът z = a + ib има за координати реалната си част a и имагинерната си част b. Множеството от точки, отговарящи на реалните числа, се нарича реална ос, а множеството, отговарящо на чисто имагинерните числа, - имагнерна ос. Дължината на вектора се нарича модул или абсолютна стойност на комплексното число и се отбелязва с |z|, а ориентираният ъгъл между реалната ос и вектора - аргумент на числото и се отбелязва с Arg z. Ако числото z = a + ib има модул r и аргумент φ, то следващите формули дават връзка между коорднатите, модула и аргумента:
Използвайки формулата на Ойлер, получаваме така наречения тригонометричен вид на числото z:
Когато числата са записани в тригонометричен вид, формулите за умножение и деление са изключително прости:
- ,
и
Операциите с комплексните числа имат геометрична интерпретация в комплексната равнина. Събирането и изваждането на комплексни числа е еквивалентно на събирането и изваждането на вектори, а умножението е комбинация от въртене и хомотетия. Умножаването на числото z с числото w = reiφ е еквивалентно на въртене на вектора z на ъгъл φ и умножаване на дължината му с r. Така например умножаването с i е еквивалентно на въртене на 90 градуса (π/2 радиана). Тогава геометричната интерпретация на i2= −1 е, че две последователни въртения на 90 градуса са еквивалентни на едно въртене на 180 градуса (π радиана).
[редактиране] Абсолютна стойност, комплексно спрягане, дължина
Както бе дефинирана по-горе, абсолютната стойност, също наричана модул или норма, на числото z се отбелязва с |z| и представлява дължината на вектора, съответстващ на z в комплексната равнина. Ако числото е написано в тригонометричен вид , абсолютната стойност на z е равна на r, докато ако z е написано в алгебричен вид z = a + ib, тя се изразява чрез формулата:
Абсолютната стойност има следните свойства:
- тогава и само тогава, когато
От тях например следва, че |z/w| = |z|/|w|. С помощта на абсолютната стойност може да се дефинира функцията разстояние между комплексни числа d(z,w) = |z-w|. Геометрично това представлява дължината на отсечката, свързваща точките z и w в комплексната равнина. С тази функция множеството на комплексните числа се превръща в метрично пространство, което позволява да се дефинират понятия като граница на функция и непрекъсната функция. В това метрично пространство операциите събиране, изваждане, умножение и деление на комплекни числа са непрекъснати.
Комплексно спрегнато на числото z =a + ib е числото a - ib, което се означава с . Както се вижда от илюстрацията, е симетрично на z спрямо реалната ос. Комплексно спрегнатото число има следните свойства:
- тогава и само тогава, когато z е реално
- ако z не е нула. Последната формула е особено важна. Тя дава начин за пресмятане на реципрочното на комлексно число, записано в алгебричен вид.
[редактиране] Деление на комплексни числа
По-горе беше показано как се делят комплексни числа, записани в тригонометричен вид. Ако числата са записани в алгебричен вид, могат да се приведат в тригонометричен им вид и след това да се разделят по горната формула. Има още един начин за деление, при който това преобразуване се избягва. Нека са дадени числата a + ib и c + id, като второто е различно от 0. Тогава, за да се пресметне тяхното частно, е необходимо a + ib да се умножи с реципрочното на c+id, което може да се пресметне с помощта на формулата от предишната секция. На практика пресмятанията се извършват по следния начин:
[редактиране] Формула на Моавър
Формулата на Моавър позволява да се степенува комплексно число, представено в тригонометричен вид:
където r е модулът, а φ — аргументът на комплексното число. В съвременната символика тя е публикувана от Ойлер през 1722 г.
[редактиране] История
Комплексните числа са се появили най-напред като "мними (въображаеми) величини" в известния труд на Кардано (1545) "Великото изкуство, или за алгебричните правила". Той считал, че са негодни за употреба.
Ползата от мнимите величини първи е оценил Бомбели (1572) - при решаването на кубични уравнения в т. нар. неприводим случай, когато реалните корени се изразяват чрез кубични корени от мними величини. Той дава най-простите правила за действия с комплексни числа.
През XVI - XVII в. математиците започват да наричат "мними" изрази от вида , появяващи се при решаване на квадратни и кубични уравнения. За много крупни учени от XVII в. обаче алгебричната и геометричната им същност остава неясна. Нютон например не включва мнимите величини в понятието число.
Задачата за изразяване на n-ти корен от дадено число е решена в работите на Моавър (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котес (R. Cotes, 1722).
Символът е предложен от Ойлер (1794), който използва първата буква от "imaginarius". През 1751 г. той изказва мисълта за алгебрична затвореност на полето на комплексните числа. До същия извод стига и Даламбер (1747), но първото строго доказателство на този факт е дадено от Гаус (1799). Той въвежда в употреба термина "комплексно число" през 1831 г.
Първото геометрично тълкуване на комплексните числа и действията над тях е изложено в работа на Весел (С. Wessel, 1799).
Геометричното представяне на комплексните числа влиза в употреба след публикуването на работата на Арган (J. R. Argand) - 1814 г.
Аритметичната теория на комплексните числа като двойка реални числа е изградена от Хамилтон (1837). На него принадлежи и обобщението на комплексните числа - кватернионите.
[редактиране] Литература
- Татяна Аргирова, Теория на аналитичните функции, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", С., 2003 ISBN 954-07-1805-8.