מודול (מבנה אלגברי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מודול הוא מבנה אלגברי הכולל חבורה אבלית, שעליה פועל חוג באמצעות כפל בסקלר, באותו אופן שבו שדה פועל על מרחב וקטורי.

המודולים מהווים "מגרש משחקים" כללי ביותר, שבו יכול החוג לפעול ולהפגין את תכונותיו האלגבריות. משום כך מהווים מודולים כלי עבודה מרכזי בתורת החוגים, ובפרט באלגברה הומולוגית, ובכל היישומים של תחומים אלה במתמטיקה.

[עריכה] הגדרה

כאמור לעיל, מודול הוא חבורה אבלית: קבוצה, עם פעולה בינארית שמקובל לסמן בסימן החיבור, +, ואיבר נייטרלי, 0. חוג הבסיס, R, עשוי לפעול על המודול משמאל או מימין, ותוצאת הפעולה היא "מודול שמאלי" או "מודול ימני", בהתאמה.

חבורה אבלית M היא מודול שמאלי מעל החוג R, אם מוגדרת פונקציה $\ R \times M \rightarrow M$ ("כפל בסקלר", שמקובל לסמן בנקודה, $\ (r,m)\mapsto r\cdot m$ , או בלעדיה, $\ (r,m)\mapsto r m$ ), שהיא דיסטריבוטיבית בשני המשתנים, אסוציאטיבית, ומכבדת את איבר היחידה של R; כלומר, מתקיימות האקסיומות (לכל $\ r,r' \in R, m,m' \in M$ ):

$\ r(m+m') = rm + rm'$
$\ (r + r') m = rm + r'm$
$\ r(r' m) = (rr')m$
$\ 1 m = m$ (אקסיומה זו אינה נדרשת אם R הוא חוג בלי יחידה).

באותו אופן, M הוא מודול ימני מעל R, אם מוגדרת פעולת כפל בסקלר מימין, $\ M \times R \rightarrow M$ , המקיימת אקסיומות אנלוגיות. אין הבדל עקרוני בין מודולים שמאליים וימניים. הבחירה באחד משני הסוגים היא ענין של טעם, והצורך לעסוק בשתי ההגדרות מתעורר רק כאשר לומדים בימודולים, שהם מבנים שעליהם פועלים שני חוגים בו-זמנית.

לבסוף, M הוא בימודול מעל זוג החוגים R,S, אם M הוא מודול שמאלי מעל R וימני מעל S, והפעולות משתלבות באמצעות האקסיומה $\ (rm)s=r(ms)$ לכל $\ r\in R, s\in S, m\in M$ . אם R=S, אומרים גם ש-M בימודול מעל R.

[עריכה] הכפל בסקלר כפעולה

אם M היא חבורה אבלית, אוסף האנדומורפיזמים $\ f : M \rightarrow M$ (אלו הן הפונקציות המקיימות $\ f(m+m') = f(m)+f(m')$ ) מהווה חוג, ביחס לפעולות של חיבור נקודתי $\ (f+f')(m)=f(m)+f'(m)$ והרכבה. את החוג הזה מקובל לסמן ב- $\ \operatorname{End}_{\mathbb Z}(M)$ . אם M הוא מודול מעל חוג R, אז לכל $\ r \in R$ הפונקציה $\ \ell_r : m \mapsto rm$ היא אנדומורפיזם (לזה דואג תנאי הדיסטריבוטיביות מימין), והפונקציה השולחת את r אל $\ \ell_r$ היא הומומורפיזם של חוגים (בזכות שלוש האקסיומות האחרות). אפשר להפוך את כיוון הבניה, וכך מתקבלת התאמה בין הדרכים לחשוב על M כמודול, לבין ההומומורפיזמים מחוגים כלשהם אל $\operatorname{End}_{\mathbb Z}(M)$ .

[עריכה] דוגמאות

1. תורת המודולים מכלילה שתי תאוריות חשובות: אלגברה לינארית מתקבלת מן ההבחנה שמעל שדה F, המודולים אינם אלא מרחבים וקטוריים. בדומה לזה, המודולים מעל חוג המספרים השלמים $\ \mathbb{Z}$ אינם אלא חבורות אבליות.

2. אפשר לחשוב על פעולת הכפל בחוג R כעל פעולה של כפל בסקלר; כך, כל חוג הוא גם מודול מעל עצמו. יתרה מזו, חוג R מהווה מודול מעל תת-חוג שלו, ומנגד, הסגירות לכפל משמאל הופכת כל אידאל שמאלי של R למודול מעל R.

3. אם R חוג ו- I אידאל שלו, אז כל מודול מעל חוג המנה $\ R/I$ הוא גם מודול מעל R, ביחס לפעולה $\ rx = (r+I)x$ . מצד שני, מודול מעל R אפשר לראות גם כמודול מעל חוג המנה, רק כאשר המאפס $\ \operatorname{Ann}_R(M) = \{r \in R : rM = 0\}$ מוכל ב- I.

4. אם V מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- $\ T : V \rightarrow V$ העתקה לינארית, אפשר להפוך את V למודול מעל חוג הפולינומים $\ F[\lambda]$ , באמצעות פעולת הכפל בסקלר $\ \sum \alpha_i \lambda^i \cdot v = \sum \alpha_i T^i(v)$ . המבנה של המודול המתקבל קשור קשר הדוק לתכונות של ההעתקה T, ובפרט לפירוק ז'ורדן שלה.

[עריכה] פעולות בין מודולים

אם M הוא מודול שמאלי מעל חוג R, תת-חבורה N של M היא תת-מודול אם N מהווה מודול מעל R ביחס לאותה פעולה של כפל בסקלר, כלומר, אם $\ r n \in N$ לכל $\ r \in R$ ולכל $\ n\in N$ . החיתוך של שני תת-מודולים הוא תת-מודול, והסכום של שני תת-מודולים הוא תת-מודול. כמו במרחבים וקטוריים, יש חשיבות מיוחדת לסכום ישר, שהוא סכום של תת-מודולים, שבו יש דרך יחידה להציג כל וקטור כסכום משני המרכיבים.

אם $\ N\leq M$ שני מודולים, מודול המנה $\ M/N$ מוגדר כמרחב הקוסטים $\ \{m + N: m\in M\}$ , עם פעולת הכפל בסקלר $\ r(m+N)=rm+N$ . פונקציה שומרת חיבור f ממודול M מעל R למשנהו היא הומומורפיזם של מודולים, אם היא שומרת על הכפל בסקלר: $\ f(rm)=rf(m)$ . כרגיל, איזומורפיזם של מודולים הוא הומומורפיזם שהוא חד-חד-ערכי ועל. תת-מודולים מקיימים את משפטי האיזומורפיזם של נתר.

ה"סכום הישר החיצוני" (הקרוי גם "מכפלה ישרה"), מוגדר בדומה למרחבים וקטוריים או חבורות, עם הכפל בסקלר לפי רכיבים: $\ r(m,n)=(rm,rn)$ . מגדירים גם סכום ישר חיצוני ומכפלה ישרה של מספר אינסופי של מודולים (שני המבנים המתקבלים שונים זה מזה).

[עריכה] המעבר ממודול שמאלי לימני

בדרך כלל, אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הפעולה של כפל בסקלר מימין אינה הופכת את M למודול ימני מעל אותו חוג, משום שתנאי האסוציאטיביות אינו מתקיים. אם R חוג קומוטטיבי, בעיה זו נעלמת: מעל חוגים כאלה, כל מודול שמאלי הוא גם ימני (ולהיפך); למעשה, כל מודול שמאלי או ימני הוא בימודול מעל R. במקרה הכללי, המעבר בין מודולים שמאליים וימניים מערב את החוג המנוגד $\ R^{op}$ של R, שהוא בעל אותו מבנה חיבורי, עם הכפל ההפוך $\ x^{op}y^{op}=(yx)^{op}$ . אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הוא גם מודול ימני מעל $\ R^{op}$ , אם מגדירים את הפעולה החדשה לפי הנוסחה $\ m\cdot x^{op} = xm$ . עם זאת, M איננו בימודול מעל הזוג $\ R,R^{op}$ .

[עריכה] מודולים חופשיים

מודול שמאלי $\ M$ מעל חוג $\ R$ , נפרש על ידי תת קבוצה $\ S\subseteq M$ אם כל איבר $\ m\in M$ אפשר לכתוב כסכום $\ m=r_1 e_1 + r_2 e_2 +r_3 e_3 +...+r_n e_n$ שבו $\ r_1,r_2,r_3,...,r_n \in R$ והסקלרים $\ e_1,\dots,e_n\in S$ . אם ההצגה של כל איבר של M באופן הזה היא יחידה, אז S מהווה בסיס של M. בניגוד למצב במרחבים וקטוריים, לא לכל מודול יש בסיס (לדוגמה: חבורה אבלית סופית היא מודול מעל חוג השלמים, אבל לא יכולה להיות בה הצגה יחידה, משום שבחוג יש אינסוף סקלרים). מודול שיש לו בסיס נקרא מודול חופשי, ועוצמת הבסיס נקראת הדרגה של המודול.

כל מודול חופשי אפשר להציג כסכום ישר של עותקים של החוג R נקרא מודול חופשי. הסימון $\ R^n$ מתאר סכום ישר של n עותקים.

הדרגה של מודול מעל חוג קומוטטיבי מוגדרת היטב (כלומר: כל שני בסיסים של מודול חופשי מעל חוג קומוטטיבי הם בעלי אותה עוצמה). מאידך, יש דוגמאות למודולים מעל חוגים לא קומוטטיביים עם בסיסים בגדלים שונים.

[עריכה] תורת מבנה

מודול M הוא נאמן אם לא קיים איבר $\ r$ של החוג כך ש- $\ rM=0$ . מודול פשוט הוא מודול שאין לו תת-מודולים לא טריוויאליים (דהיינו שונים מאפס ומהמודול עצמו). כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $\ M=Rx$ ); כל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $\ R/L$ כאשר $\ L$ אידאל שמאלי של $\ R$ .

אוסף המודולים מעל חוג נתון $\ R$ מהווה קטגוריה. אפשר ללמוד על המבנה של $\ R$ מתוך התכונות של מודולים מעליו. אחת הדוגמאות החשובות בעניין זה: חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן נקרא חוג פרימיטיבי; כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי, וכל חוג פרימיטיבי הוא חוג ראשוני.

המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים מהווה דוגמה חשובה. משפט: יהי $\ R$ תחום ראשי; כל מודול נוצר סופית מעל $\ R$ אפשר לכתוב באופן יחיד כסכום ישר של מודולים ציקליים $\ R/d_iR$ , כאשר $\ d_1|...|d_n$ . ממשפט זה אפשר לקבל כמקרים פרטיים את המשפט היסודי על מיון של חבורות אבליות נוצרות סופית, וגם את פירוק ז'ורדן של מטריצות.