Модуль над кольцом
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В абстрактной алгебре понятие модуля над кольцом является обобщением двух наиболее важных алгебраических понятий — векторного пространства (здесь в качестве кольца берется какое-то конкретное поле), и абелевой группы (где кольцо совпадает с кольцом целых чисел).
Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как
- алгебраическая геометрия,
- гомологическая алгебра,
- теория представлений групп.
Содержание |
[править] Определения
Пусть — кольцо. Правым -модулем называется абелева группа с операцией умножения на элементы кольца
которая удовлетворяет условиям дистрибутивности:
Если кольцо ассоциативно и обладает единицей, условия дистрибутивности дополняют следующими:
Аналогично определяется понятие левого модуля.
[править] Связанные определения и свойства
- Подмодулем модуля называется подгруппа группы , замкнутая относительно умножения на элементы из , т. е. такая, что
-
- .
- Подмодули модуля являются правыми идеалами.
- Гомоморфизм или R-гомоморфизм R-модулей A и B называется гомоморфизм групп , для которого выполнено дополнительное условие . Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через . На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, - и + равенствами
- .
- Модуль называют артиновым (нетеровым), если каждая убывающая (возрастающая) последовательнось его подмодулей стабилизируется за конечное число шагов.
[править] Примеры
- Любое кольцо R является модулем над самим собой.
- Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
- Линейное пространство над полем F — модуль (как левый, так и правый) над F.
- Линейное пространство V — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований L(V)
- Дифференциальные формы на гладком многообразии M снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на M.
[править] История
Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т.е. -мoдули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. 19 в. в работах Дедекинда и Кронекера, посвященных арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (В. Пирс, В. Peirce, Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Нётер и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.