Подмодуль
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца R является подмодулем левого (правого) R-модуля R.
[править] Связанные определения
- Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
- Подмодуль называется большим (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
- Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
- Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
- Подмодуль A модуля B называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля равенство A + A' = B влечет A' = B.
- Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.
[править] Свойства
- Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекнндовой решеткой.
- Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
- Левый идеал I принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда IM мал в M для всякого конечно порожденного левого модуля M.
- Элементы малого подмодуля являются необразующими, т. е. любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
- Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
- Если φ ― гомоморфизм модуля A в модуль B, то множество
оказывается подмодулем модуля A и называется ядром гомоморфизма φ.- Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.
[править] Литература
- Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981;
- Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.