אלגברת לי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, אלגברת לי (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 דוגמאות
3 הקשר לאלגברות אסוציאטיביות
4 המבנה של אלגברות לי
5 ראו גם

[עריכה] הגדרה

אלגברת לי היא מרחב וקטורי $\ V$ מעל שדה $\ \mathbb{F}$ (בדרך כלל, השדה הממשי או השדה המרוכב) ביחד עם תבנית בילינארית $\ [\cdot, \cdot] : V \rightarrow V$ הנקראת "סוגריים של לי" (Lie brackets), המקיימת את התכונות הבאות:

$\!\, [x,x]=0$ לכל $\!\, x$ ב- $\ V$ .
$\ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ לכל $\!\, x, y, z$ ב- $\ V$ ("זהות יעקובי").

מהתכונה הראשונה נובע כי סוגרי-לי הם אנטי-סימטריים, כלומר $\ [x,y]=-[y,x]$ לכל x, y ב- $\ V$ . האנטי-סימטריות, בתורה, גוררת את התכונה הראשונה, בתנאי שהמאפיין של $\ \mathbb{F}$ אינו 2.

המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי בדרך כלל אינה אסוציאטיבית, כלומר: $\ [x,[y,z]]\ne[[x,y],z]$ .

[עריכה] דוגמאות

אלגברה טריוויאלית: כל מרחב וקטורי $\ V$ הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 ( $\ \forall v,w : \ [v,w]=0$ ).
המרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^3$ עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי.
בהינתן אלגברה אסוציאטיבית $\ A$ עם פעולה $\ *$ אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה $\ [x,y]=x*y-y*x$ (פעולה הידועה בשם "קומוטטור").
מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה יוצרת אלגברת לי מממד אינסופי, באופן הבא: עבור שני שדות וקטוריים $\ X,Y$ עם אופרטור גזירה חלקית נגדיר את מכפלת לי שלהם לכל פונקציה סקלרית על היריעה $\ f$ להיות $\ [X,Y](f)=(XY-YX)(f)$ . זאת אלגברת לי של חבורת הלי מממד אינסופי של הדיפאומורפיזמים על היריעה.

[עריכה] הקשר לאלגברות אסוציאטיביות

כל אלגברת לי L ניתנת לשיכון באלגברת לי הנוצרת מאלגברה אסוציאטיבית A (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט). אם L מממד סופי, אפשר להניח שגם A מממד סופי (Ado במאפיין אפס, Iwasawa במאפיין חיובי).

[עריכה] המבנה של אלגברות לי

תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל (אידאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.

כדי לנתח את המבנה של אלגברת לי פשוטה למחצה (מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית F), יש לקבוע תת-אלגברה נילפוטנית N. שורש של L הוא פונקציה $\ \lambda : N \rightarrow F$ המתאימה לכל וקטור a ב- N ערך-עצמי של האופרטור הצמוד לו, $\ ad_a : L \rightarrow L$ , המוגדר לפי $\ ad_a(x) = [a,x]$ . פירוק לפי שורשים הוא פירוק של L לסכום ישר $\ L = \oplus L_{\lambda}$ , כאשר $\ \{\lambda\}$ הם שורשים, ו- $\ L_{\lambda}$ הוא מרחב עצמי מוכלל של $\ ad_a$ , עם ערך עצמי $\ \lambda(a)$ , לכל $\ a\in N$ . מתברר שלכל N נילפוטנית קיימים די שורשים לפירוק כזה של L. מרכיבי הפירוק מקיימים $\ [L_\lambda,L_\mu] \subseteq L_{\lambda+\mu}$ , כך שהאלגברה L מדורגת ביחס לקבוצת השורשים (שהיא סופית).

לכל אלגברת לי פשוטה למחצה L קיימת תת-אלגברת קרטן H, שהיא תת-אלגברה אבלית (כלומר, מקיימת את הזהות $\ [H,H]=0$ ) מקסימלית. מכיוון ש- H נילפוטנטית, אפשר לפרק את L לפי קבוצת שורשים של H; בפירוק כזה, H היא המרכיב המתאים לשורש 0.

על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן H של L אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי $\ H^*$ , שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של L. באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה. מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים יכולה להיות ישרה או קהה. את הזוויות האלה אפשר לקודד במטריצת קרטן, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של L כולה.

התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות $\ A_n,B_n,C_n,D_n$ , ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': $\ G_2,F_4,E_6,E_7,E_8$ . מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.