פונקציה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בפונקציה במתמטיקה. אם התכוונתם לפונקציה בתכנות, ראו פונקציה (תכנות).

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציה היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המתמטיקה, וגם מחוץ לה. הפונקציה משמשת בין השאר ככלי לבטא תלות בין משתנים (מצב בו שני משתנים תלויים זה בזה) וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע והכלכלה.

[עריכה] הגדרה מפורטת

$\ f$ היא פונקציה מקבוצה A לקבוצה B, ומסומנת $\ f : A \rightarrow B$ ,אם:

לכל איבר בקבוצה A מותאם איבר בקבוצה B (כלומר, אין איברים ב-A שאינם מותאמים)
לאיבר בקבוצה A מותאם לכל היותר איבר יחיד בקבוצה B (כלומר, אם X מותאם לאיברים y ו-z, הרי ש y=z).

הקבוצה A קרויה תחום הפונקציה (או תחום ההגדרה של הפונקציה), והקבוצה B היא הטווח של הפונקציה.

בתחומים שונים של המתמטיקה משתמשים גם בהתאמות שאינן מקיימות את הדרישה הראשונה (קיום איבר מתאים לכל איבר ב-A) אלא רק את השנייה (התוצאה מכונה פונקציה חלקית); וכן בהתאמות המקיימות את הדרישת השנייה (לכל איבר מותאם רק איבר יחיד ב-B) אך לא את הראשונה (התוצאה נקראת פונקציה מרובה).

מבחינה פורמלית, פונקציה מהווה תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית $\ A\times B$ , כך שלכל איבר $\ a\in A$ קיים איבר יחיד $\ b\in B$ שעבורו הזוג הסדור $\ (a,b)$ שייך לפונקציה. במובן זה פונקציה היא סוג של יחס.

[עריכה] דוגמאות

התאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה, כי לכל אדם יש גיל, ולא ייתכן אדם שיש לו שני גילאים שונים.
התאמה המתאימה לכל מספר טבעי את ריבועו היא פונקציה.
התאמה המתאימה לכל אדם את אזרחותו איננה פונקציה מאחר ויש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
התאמה המתאימה לכל אדם את הדרג שלו בשחמט אינה פונקציה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי איגוד השחמט.

תאור הפונקצייה נעשה באמצעות תאור הקשר בין כל מקור לתמונתו. אם x הוא איבר A, לאיבר ש-f מתאימה אליו ב-B קוראים 'התמונה של x על ידי f", והוא מצוין בסימון $f(x) \$ . אחת האפשרויות לתאר את הקשר היא על ידי ביטוי מתמטי. לדוגמה, פונקציה המתאימה לכל x את מכפלתו ב- 5 תכתב כך: $\ f(x) = 5x \$ . מאחר שפונקציה היא התאמה בין כל שתי קבוצות, ניתן להגדיר פונקציות לא רק בין קבוצות של מספרים אלא גם בין קבוצות של גורמים מתמטייים אחרים (קבוצות, יחסים ואפילו פונקציות) וכן בין קבוצות של גורמים לא-מתמטיים (למשל הדוגמה הראשונה בפרק זה).

[עריכה] תחשיב למבדא

במסגרת "תחשיב למבדא", המקובל בעיקר בתחומי הלוגיקה הפורמלית, מקובל הסימון $\ f = \lambda x \in A \ . \ f(x) \in B$ . תחשיב למבדא כולל גם כללים לוגים ותחביריים, המאפשרים טיפול ריגורוזי ומדויק בפונקציות.

[עריכה] תכונות של פונקציות

פונקציה המוגדרת מקבוצה לעצמה ומקיימת $\ f(x)=x$ לכל $\ x$ בקבוצה נקראת פונקציית הזהות.
פונקציה $\ f$ תיקרא חד-חד ערכית (חח"ע, בקיצור) אם מתקיים: $\ f(a)=f(b)\rArr a=b$ כלומר, אם לכל שני איברים שונים בתחום (a,b כך ש-a אינו שווה ל-b) מותאמים שני איברים שונים בטווח כך ש-(f(a אינו שווה ל-(f(b.
פונקציה $\ f:A\rarr B$ תיקרא על אם לכל $\ y\isin B$ קיים $\ x\isin A$ כך ש: $\ f(x)=y$ .
פונקציה שהיא חד-חד-ערכית ועל נקראת הפיכה. הפונקציה ההופכית ל- $\ f$ היא פונקציה המסומנת $\ f^{-1}$ ומקיימת $\ f^{-1}(f(x))=x$ . כלומר הפעלת הפונקציה ההופכית על תוצאתה הפונקציה המקורית, הפועלת על איבר כלשהו, "הופכת" את הפעולה ונותנת את האיבר המקורי "בחזרה". בניסוח פורמלי: ההרכבה של שתי הפונקציות היא פונקציית הזהות.

חח"ע אך לא על

על אך לא חח"ע

חח"ע ועל (הפיכה)

לא חח"ע ולא על

[עריכה] דוגמאות לפונקציות

בדוגמאות רבות, התחום והטווח של הפונקציות הם קבוצת המספרים הממשיים או מרחבים וקטורים מעל שדה הממשיים. אך זהו תחום צר מאוד של פונקציות. כמו שצויין, פונקציה ניתנת להגדרה על כל מרחב מופשט שהוא ואפילו העתקה שמתאימה לכל אדם את צבע עיניו היא פונקציה.

[עריכה] פונקציות ממשיות

ערך מורחב – אנליזה מתמטית

פונקציה ממשית היא פונקציה שהתחום והטווח שלה חלקיים (או שווים) לקבוצת המספרים הממשיים, כלומר:

$\ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

פונקציות ממשיות הן הנפוצות ביותר במחקר המדעי והן נושא המחקר העיקרי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי והאנליזה המתמטית. לגביהן מקובל להגדיר מושגים של רציפות, נגזרת וכדומה.

פונקציות ניתנות לחלוקה לחלקים שונים, התחומים בין ערכים שונים של המשתנה הבלתי-תלוי. תחומים אלו מתוארים על ידי ציון גבולותיהם.

לדוגמה, תחום הפונקציה שבין x=3 לבין x=7, הכולל את הערכים הנ"ל נכתב כך:

$3 \le x \le 7$

[עריכה] פונקציות ממשיות אלמנטריות

פולינום: פונקציה מהצורה: $\ a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ .
פונקציה לינארית
פונקציה מעריכית: מספר קבוע (הבסיס) בחזקת מספר משתנה, מסומנת $\ a^x$ .
לוגריתם: ההופכי של הפונקציה המעריכית: מסומן $\ \log_{a}x$ .
פונקציות טריגונומטריות: פונקציות הנותנות את היחס בין הצלעות במשולש ישר זווית, בהתאם לזווית (הרחבה של הפונקציות אל מעבר לזויות החדות מפורטת תחת ערכי הפונקציות השונות):
- סינוס: היחס בין הצלע מול הזווית הנתונה ליתר. מסומן $\ \sin x$ .
- קוסינוס: היחס בין הצלע שליד הזווית הנתונה ליתר. מסומן $\ \cos x$ .
- טנגנס: היחס בין הצלע מול הזווית הנתונה לצלע ליד הזווית הנתונה. מסומן $\ \tan x$ .
סכום, הכפלה או הרכבה של פונקציות אלמנטריות.

[עריכה] פונקציות מרוכבות

ערך מורחב – אנליזה מרוכבת

פונקציות מרוכבות הן פונקציות שמוגדרות מעל שדה המספרים המרוכבים. גם לגביהן אפשר להגדיר גבול, רציפות וגזירות וליצור אנליזה. מחלקה חשובה של הפונקציות המרוכבות היא מחלקת הפונקציות ההולומורפיות.

[עריכה] פונקציות בכמה משתנים

פונקציות רבות יכולות להיות תלויות ביותר ממשתנה אחד.

למשל: הכוח הדרוש כדי לתת תאוצה לגוף תלוי גם במסת הגוף וגם בתאוצה הרצויה. במקרה שכזה התחום שלנו הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים של מסה ותאוצה האפשריים, כאשר לכל זוג שכזה מותאם גודל הכוח הדרוש.

דוגמה נוספת: נסתכל על הפונקציה $\ \log_a x$ , אפשר לחשוב עליה כפונקציה של שני משתנים $\ g : \mathbb{N} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ המחזירה לכל מספר טבעי a ומספר ממשי x את המספר הממשי הבא $\ g(a,x) = \log_a x$ .

בצורה כללית יותר, ניתן להגדיר פונקציה $f\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=\left(y_1,y_2,...,y_m\right)$ . פונקציה זו מתאימה לכל וקטור של משתנים $\left(x_1,x_2,...,x_n\right)$ וקטור של תוצאות $\left(y_1,y_2,...,y_m\right)$ . כל עוד לכל וקטור משתנים מותאם וקטור תוצאות אחד ויחיד, ההתאמה היא עדיין פונקציה (למרות שלכאורה, מתאימים לכל וקטור משתנים יותר מערך אחד).

פונקציה המתאימה סקלר לוקטור נקראת "פוטנציאל" ואילו המתאימה וקטור לוקטור אחר נקראת "שדה". הטרמינולוגיה שאובה מהפיזיקה ובייחוד מתחום האלקטרומגנטיות.

ראו גם: אנליזה וקטורית.

[עריכה] פונקציונלים

ערך מורחב – פונקציונל

פונקציונל, במשמעות המקורית של המילה היא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב) בתמונה.

לדוגמה: $\ I [f] = \int_0^1{ f(x) \ dx }$ (מקבלת פונקציה ומחזירה את האינטגרל המסוים שלה בקטע [0,1] ) היא פונקציונל לינארי.

בדרך כלל כאשר משתמשים במונח פונקציונל מתכוונים לפונקציונל לינארי. במונחים מודרניים של אנליזה פונקציונלית, בהינתן מרחב וקטורי X המוגדר מעל שדה F, פונקציונל לינארי הוא העתקה לינארית מX לF.

[עריכה] אופרטורים

אופרטור הפועל על פונקציה הוא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה פונקציה אחרת (לאו דווקא שונה מהמקור) כתמונה.

לדוגמה: אופרטור המקבל פונקציה ומחזיר את הנגזרת שלה, נקרא אופרטור הגזירה.

[עריכה] אלגברה בולאנית

ערך מורחב – פעולה בוליאנית

הפעולה היונארית NOT, למשל, מקבלת ערך בודד (אמת או שקר) ומחזירה את ההופכי שלו. בנוסף לה קיימות פעולות בינאריות הפועלות על שני משתנים. באלגברה הבוליאנית שני מספרים: 0 ו-1. יש בה כמה כללים בסיסים שמהם נובעים משפטים, אחד הכללים הבסיסים הוא ש- 1+1=1 כל שאר הפעולות הן רגילות (חיבור חיסור וכפל, אין חילוק). כל זה מכיוון שהאלגברה הזאת מיועדת למתחים חשמליים - אם עובר מתח או לא עובר. פונקציות באלגברה הבוליאנית אפשר לייצג בעזרת טבלת אמת שאפשר לבטא במפת קרנו לשם נוחיות. בעזרת המפה אפשר לעתים לכתוב פונקציה שונה אך בעלת פחות איברים וכך לחסוך - הרי כל איבר מיוצג במציאות, אם למשל הפעולה המתבקשת היא X*Y (פעולת הכפל באלגברה הבוליאנית היא פעולת החיתוך) אז קיים שער שאליו מוכנסים שני חוטים ובהתאם להגדרת פעולת החיתוך השער פועל - אם בשני החוטים עובר זרם חשמלי (משמע - הערך של X ושל Y הוא 1) אז הערך שהשער מוציא הוא 1, אחרת 0.

[עריכה] פונקציות סתומות

ערך מורחב – פונקציה סתומה

פונקציה סתומה היא ביטוי אלגברי שלא כתוב מפורשות באמצעות אחד מן המשתנים המופיעים בביטוי. למשל, כאשר $\ y=f(x)$ , ונתון כי $\ y^2+6x-x^2=9$ . במקרים מסוימים ניתן להגיע מהביטוי הסתום להצגה מפורשת (בדוגמה זו, $\ y=x-3$ או $\ y=-(x-3)$ ).