Funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Za druge pomene glej Funkcija (razločitev).

Funkcija poveže vsakemu elementu v množici X (vhod oz. podatek) natančno en element v množici Y (izhod oz. rezultat). Dva različna elementa v X imata lahko isti izhod, in ni nujno, da so vsi elementi v Y izhodi

Graf funkcije
$\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

Fúnkcija $f: A \longrightarrow B$ je v matematiki preslikava, ki vsakemu elementu množice A priredi natanko en element množice B.

Če definiramo funkcijo $f: a \longmapsto b$ , je a podatek ali original, b pa je funkcijska vrednost oziroma rezultat ali slika. Funkcijsko zvezo lahko krajše zapišemo $b = f (a)$ .

Množico vseh originalov (množico A) imenujemo definicijsko območje funkcije - $\mathcal{D}_f$ , množico vseh slik pa zaloga vrednosti funkcije - $\mathcal{Z}_f$ (to je v splošnem podmnožica množice B).

[uredi] Vrste funkcij

Funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke realna števila, tj.: $\mathcal{D}_f\subseteq\mathbb{R}$ .

Realna funkcija je funkcija, ki ima za rezultate realna števila, tj.: $\mathcal{Z}_f\subseteq\mathbb{R}$ .

Realna funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke in za rezultate realna števila, tj.: $\mathcal{D}_f\subseteq\mathbb{R},~ \mathcal{Z}_f\subseteq\mathbb{R}$ .

Izraz funkcija v ožjem pomenu besede pomeni realna funkcija realne spremenljivke, saj ravno takšne funkcije matematika najpogosteje preučuje. Táko funkcijo lahko tudi ponazorimo z grafom v kartezični ravnini - graf funkcije je množica točk (x,y), za katere velja zveza y = f(x).

Izraz funkcija se v matematiki najpogosteje uporablja v ožjem pomenu (realna funkcija realne spremenljivke), vendar pa včasih to besedo uporabljamo tudi v širšem pomenu - za splošnejše preslikave, npr.:

realne funkcije naravne spremenljivke, ki se imenujejo tudi zaporedja: $\mathcal{D}_f=\mathbb{N},~ \mathcal{Z}_f\subseteq\mathbb{R}$
kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke, ki imajo za podatke in rezultate kompleksna števila: $\mathcal{D}_f\subseteq\mathbb{C},~ \mathcal{Z}_f\subseteq\mathbb{C}$

[uredi] Lastnosti funkcij

Funkcija $f: A \longrightarrow B$ je:

injektivna, če vsak par različnih elementov iz množice A preslika v par različnih elementov v množici B;
surjektivna, če je vsak element iz množice B slika vsaj enega elementa iz množice A;
bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati.

Funkcija f je