הלמה של צורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הלמה של צורן (Zorn's lemma) במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, היא משפט שימושי העוסק בתכונה של קבוצות סדורות חלקית. בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול לאקסיומת הבחירה, ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו. המשפט משמש, בין היתר, להוכחת העובדה שלכל מרחב וקטורי יש בסיס, להוכחת העובדה שלכל חוג יש אידאל מקסימלי, להוכחת משפט טיכונוף בטופולוגיה, להוכחת גרסה אינסופית של משפט החתונה בקומבינטוריקה, ושימושים רבים נוספים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי מקס צורן.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא $\!\, (A,\le)$ קבוצה סדורה חלקית לא ריקה. אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל- $\!\, (A,\le)$ שהצמצום של יחס הסדר אליה הוא יחס סדר לינארי) יש חסם מלעיל, אז לקבוצה יש לפחות איבר מקסימלי אחד.

[עריכה] הוכחת המשפט

תהא $\ B$ שרשרת מקסימלית ב- $\ A$ (קיומה מובטח לפי עקרון המקסימום של האוסדורף) ויהי $\ a$ חסם מלעיל ל- $\ B$ . נוכיח כי $\ a$ מקסימלי ב- $\ A$ (ההוכחה היא בדרך השלילה). נניח ש- $\ a$ איננו מקסימלי. לכן, קיים $\ b$ ב- $\ A$ כך ש- $\ a<b$ . מהיותו של $\ a$ חסם מלעיל ל- $\ B$ אנו מקבלים כי לכל $\ c$ ב- $\ B$ מתקיים $\ c \le a$ . מכאן, לכל $\ c$ ב- $\ B$ מתקיים $\ c<b$ ולכן $\ b \not\in B$ . נתבונן בקבוצה $\ B \cup \left\{ b \right\}$ . הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו- $\ b \not\in B$ אז אנו מקבלים ש- $\ B \subset B \cup \left\{ b \right\}$ , כלומר שיש שרשרת גדולה מ- $\ B$ וזאת בסתירה לכך ש- $\ B$ היא שרשרת מקסימלית ב- $\ A$ . סתירה זאת מוכיחה את המשפט.

[עריכה] דוגמה לשימוש בלמה של צורן

נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג קיים אידאל מקסימלי. יהי R חוג השונה מחוג ה0, ותהי P קבוצת כל האידאלים בR השונים מהחוג כולו, סדורה על ידי יחס ההכלה. P בבירור אינה ריקה,, שכן הקבוצה הריקה שייכת לP. נניח כי נתונה שרשרת עולה $\,a_1 \subseteq a_2 \subseteq \dots \subseteq a_n \subseteq \dots$ של אידאלים בR. יהי $\,a=\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i$ . בבירור מתקיים $\,a_i\subseteq a$ לכל i. כאיחוד עולה של אידאלים, a הוא אידאל בR. יתר על כן, מכיוון שלכל i מתקיים ש $\,1 \notin a_i$ , הרי ש $\,1\notin a$ , ולכן $\,a\ne R$ , ולכן $\,a\in P$ . קיבלנו שa הוא חסם מלעיל לשרשרת הנתונה, ולכן תנאיי הלמה של צורן מתקיימים. לפיכך יש לP לפחות איבר מקסימלי אחד m, ולכן m הוא אידאל מקסימלי בR.