Lemma di Zorn

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Il Lemma di Zorn afferma che:

Se $X$ è un insieme non vuoto su cui è definita una relazione d'ordine parziale tale che ogni sua catena possiede un maggiorante, allora contiene almeno un elemento massimale.

Indice

1 Cenno storico e ruolo
2 Equivalenza con l'assioma della scelta
- 2.1 Dipendenza dall'assioma della scelta
- 2.2 Implicazione dell'assioma della scelta

[modifica] Cenno storico e ruolo

Il lemma di Zorn viene detto anche Lemma di Kuratowski-Zorn; in effetti esso fu scoperto da Kazimierz Kuratowski nel 1922 e riscoperto indipendentemente da Max Zorn nel 1935.

Si dimostrò poi che il Lemma di Zorn è equivalente all'assioma della scelta e al teorema del buon ordinamento. Più precisamente, assunto il sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, se si assume anche uno dei tre suddetti enunciati si possono dedurre i due rimanenti.

In conseguenza dei lavori di Kurt Gödel e di Paul Cohen si è dimostrato che l'assioma della scelta (o equivalentemente il lemma di Zorn, oppure il principio di buon ordinamento) è logicamente indipendente da un sistema di assiomi per la teoria degli insiemi, ad esempio dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Risulta impossibile da questi assiomi dimostrare il lemma di Zorn o la sua negazione; quindi si possono avere teorie degli insiemi che includono il lemma di Zorn e altre che includono la sua negazione.

Nella maggior parte dei lavori matematici che affrontano queste tematiche generali il lemma di Zorn viene richiesto, in quanto esso rende possibile stabilire un insieme più ampio di proprietà e di individuare una gamma più estesa di oggetti matematici che conducono a costruzioni teoriche più soddisfacenti, cioè a sistemi di teoremi con caratteristiche di maggiore completezza. Ad es. grazie all'assunzione del lemma di Zorn si possono enunciare il teorema di Hahn-Banach in analisi funzionale, l'esistenza di una base per ogni spazio vettoriale, il teorema di Tychonoff in topologia, la compattezza di ogni prodotto di spazi compatti, l'esistenza di un ideale massimale per ogni anello e il fatto che ogni campo possiede una chiusura algebrica.

[modifica] Equivalenza con l'assioma della scelta

[modifica] Dipendenza dall'assioma della scelta

Dato un insieme $X$ su cui sia definita una relazione d'ordine $<$ , per l'assioma della scelta (applicato all'insieme delle parti di $X$ ) sappiamo che esiste una funzione di scelta $f:\mathcal{P}(X) \setminus \emptyset \rightarrow X$ tale che $\forall Y \in \mathcal{P}(X) \setminus \emptyset, f(Y) \in Y$ .

Data allora una tale $f$ , definiamo $f$ -catena una catena $C$ tale che:

$(C, < )$ sia ben ordinata
$\forall a \in C, a = f(\{x \mid \forall b \in C, b < a \rightarrow x > b\})$

ovvero ogni elemento della catena è l'immagine degli elementi che maggiorano tutti gli elementi precedenti nella catena; si può immaginare che $C$ sia costruita a partire dall'insieme vuoto, aggiungendo ogni volta un elemento scelto tra l'insieme dei maggioranti degli elementi già aggiunti

Si verifica facilmente che date due $f$ -catene $C, D$ , una sarà sempre segmento iniziale dell'altra, e quindi che un'unione di $f$ -catene è ancora una $f$ -catena.

Sia ora $F$ l'unione di tutte le $f$ -catene contenute in $X$ . $F$ sarà una $f$ -catena. Supponiamo che ogni catena abbia un maggiorante (ipotesi del Lemma di Zorn): allora in particolare esiste un $m$ maggiore di tutti gli elementi di $F$ . Ma se esistesse $n \in X$ tale che $n > m$ , avremmo che l'insieme $M$ dei maggioranti di $m$ (e quindi di ogni elemento di $F$ ) è non vuoto (contiene almeno $n$ ) e quindi la catena ottenuta estendendo $F$ con l'elemento $f (M)$ è una $f$ -catena. Ma questo è un assurdo perché $F$ è definita come l'unione di tutte le $f$ -catene.

[modifica] Implicazione dell'assioma della scelta

Per dimostrare che il Lemma di Zorn implica l'assioma della scelta, è sufficiente osservare che esso implica il Teorema di buon ordinamento, che a sua volta implica l'assioma della scelta.