Teorema di Hahn-Banach

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In matematica, il teorema di Hahn–Banach è uno strumento centrale nell'analisi funzionale. Esso permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono "abbastanza" funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni '20.

La formulazione più generale del teorema necessita di un po' di preparazione. Se V è uno spazio vettoriale sul campo di scalari K (che può essere quello reale R o quello complesso C), chiamiamo una funzione N : V → R sublineare se

N(ax + by) ≤ |a| N(x) + |b| N(y)

per tutti gli x e y in V e tutti gli scalari a e b in K. Ogni norma su V è sublineare, ma ci sono altri esempi.

Il teorema di Hahn–Banach afferma che:

Sia N : V → R sublineare, sia U un sottospazio vettoriale di V e sia φ : U → K un funzionale lineare tale che |φ(x)| ≤ N(x) per tutti gli x in U. Allora esiste un'applicazione lineare ψ : V → K che estende φ (nel senso che ψ(x) = φ(x) per tutti gli x in U) e che è dominata da N su tutto V (nel senso che |ψ(x)| ≤ N(x) per tutti gli x in V).

L'estensione ψ non è in generale unicamente determinata da φ e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare ψ: nel caso di uno spazio a dimensione infinita V, ma si appoggia al lemma di Zorn.

In effetti, la condizione di sublinearità su N può essere leggermente indebolita: basta assumere che:

N(ax + by) ≤ |a| N(x) + |b| N(y)

per tutti gli a and b in K con |a| + |b| = 1 (Reed e Simon, 1980).

Svariate importanti conseguenze del teorema vengono anch'esse chiamate talvolta "teorema di Hahn–Banach":

Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se φ : U → K è lineare e continua, allora esiste un'estensione ψ : V → K di φ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di φ (vedi spazio di Banach per una discussione sulla norma di un'applicazione lineare).
Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se z è un'elemento di V non contenuto nella chiusura di U, allora esiste un'applicazione lineare e continua ψ : V → K con ψ(x) = 0 per ogni x in U, ψ(z) = 1, e ||ψ|| = ||z||⁻¹.

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo il teorema nella seguente forma.

Sia $X$ uno spazio vettoriale su $\R$ e sia $p:X\to \R$ una funzione tale che

$p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)\quad \forall \ x,y\in X,\quad \forall \ t\in [0,1].$

Sia $Y$ un sottospazio di $X$ e sia $f:Y\to \R$ una funzione lineare tale che

$f(x)\le p(x)\quad \forall \ x\in Y$ .

Allora esiste una funzione lineare $F:X\to \R$ tale che

$F(x)=f(x)\quad \forall \ x\in Y$ ;

$F(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in X$ .

Dimostrazione

Passo 1. Sia $z\in X\setminus Y$ , consideriamo il sottospazio di $X$ così definito:

$Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.$

Estendiamo $f$ su tutto $Y z$ ponendo:

$\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),$

dove $\tilde f(z)$ è un numero reale che determiniamo nel seguito.

Osserviamo innanzitutto che $\tilde f$ è una estensione lineare di $f$ .

Siano ora $y_1, y_2\in Y$ e $a, b > 0$ . Si ha

$f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\le$

$(a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =$

$(a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \le$

a p (y 1 - b z) + b p (y 2 + a z).

Pertanto risulta

$a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \le -b\left(f(y_2)+p(y_2+az)\right)$

e quindi

$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \le \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$

Quindi esiste $c\in \R$ tale che

$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \le c \le \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.$

Da tale disuguaglianza si trae che

$ac \le p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R$ .

Poniamo quindi

$\tilde f(z)=c.$

Per ogni $y\in Y$ e per ogni $a\in \R$ , risulta:

$\tilde f(y+az)=f(y)+ac \le p(y+az),$

cioè

$\tilde f(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.$

Passo 2. Chiamiamo ora $E$ l'insieme delle estensioni lineari $e$ di $f$ tali che $e(x)\le p(x)$ per ogni $x$ appartenente al dominio di definizione di $e$ . Per il punto precedente $E$ è un insieme non banale.

Definiamo in $E$ una relazione d'ordine dicendo che $e_1\le e_2$ se il dominio di definizione di $e 1$ è contenuto nel dominio di definizione di $e 2$ e $e 1$ ed $e 2$ coincidono sul dominio di definizione di $e 1$ .

Consideriamo un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$ , che denotiamo con $U=\left\{e_a, a\in A\right\}$ , dove $A$ è un arbitrario insieme di indici, ed indichiamo con $X a$ il dominio di definizione di $e_a\in U$ . Poniamo $Y=\cup_{a\in A} X_a$ e, dato $y\in Y$ , definiamo $e (y) = e b (y)$ , dove $b\in A$ è un qualsiasi indice di $A$ tale che $y\in X_b$ . È chiaro che la definizione di $e$ è ben posta, che $e$ è una estensione lineare di ogni $e_a\in U$ e che risulta $e(x)\le p(x) \ \forall x\in Y$ . Si deduce che $e$ è un limite superiore per $U$ ; essendo $U$ un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$ il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di $E$ che chiamiamo $F$ . Denotiamo con $\tilde Y$ il dominio di definizione di $F$ ; se mostriamo che $\tilde Y=X$ il teorema è provato.

Chiaramente $\tilde Y$ è un sottospazio di $X$ ; supponiamo, per assurdo, che esista $z\in X\setminus \tilde Y$ . Applicando il punto 1 al sottospazio

$\tilde{Y}_z\doteq \left\{y+az, \ y\in \tilde Y, \ a\in \R\right\}$

possiamo costruire una estensione non banale di $F$ che, per le proprietà dimostrate nel punto 1, contraddice la massimalità di $F$ su $E$ . Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

[modifica] Forme geometriche

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari.

Sia $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$ e sia $f:X\to \R$ un funzionale lineare continuo non nullo. Dato $a\in \R$ , l'insieme

$H\doteq\left\{x\in x: f(x)=a\right\}$

si dice iperpiano in $X$ di equazione $f = a$ .

Dati due sottoinsiemi $A, B$ di $X$ non vuoti e disgiunti, diciamo che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ se risulta

$f(x)\le a\quad \forall\ x\in A$

$f(x)\ge a\quad \forall\ x\in B$ .

Diciamo che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ in senso stretto se esiste un numero $ε > 0$ tale che

$f(x)\le a-\epsilon \quad \forall\ x\in A$

$f(x)\ge a + \epsilon \quad \forall\ x\in B$ .

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach.

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$ , $A, B$ due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e supponiamo che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f = a$ che separa $A$ e $B$ .

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach.

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$ , $A, B$ due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e supponiamo che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f = a$ che separa $A$ e $B$ in senso stretto.

[modifica] Bibliografia

Lawrence Narici e Edward Beckenstein, 'The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times', Topology and its Applications, Volume 77, 2° edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

Michael Reed e Barry Simon, Functional Analysis, Sezione III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-5.