Sottospazio vettoriale
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In matematica, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.
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[modifica] Definizione
Sia K un campo (ad esempio il campo dei numeri reali R). Sia V uno spazio vettoriale su K e denotiamo con 0V il suo vettore nullo. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se valgono le seguenti proprietà:
- se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
- se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.
Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente:
- Se u e v sono elementi di W, λ e μ sono elementi di K, allora λu + μv è un elemento di W.
Dalla definizione, segue che, per ogni spazio vettoriale V, gli insiemi {0V} e V sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri.
Si ottiene facilmente dalla condizione 2) che il vettore nullo 0V appartiene ad ogni sottospazio vettoriale W di V e costituisce il vettore nullo di W.
Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di V siano ben definite anche quando sono ristrette a W. A questo punto, i 10 assiomi che garantiscono che V sia uno spazio vettoriale valgono anche per W, e quindi anche W è uno spazio vettoriale.
Si trova facilmente anche che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio V è sottospazio di X.
[modifica] Esempi
Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali Kn, le matrici m x n, o i polinomi a coefficienti in K.
- L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
- Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di R3.
- Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in K ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di Kn.
- Le matrici diagonali, le simmetriche e le antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate n x n.
- Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare f: V → W sono sottospazi rispettivamente di V e di W.
- I polinomi di gradi al più k sono un sottospazio dello spazio K[x] dei polinomi a coefficienti in K con variabile x.
- Se X è un insieme ed x un punto di X, le funzioni da X in K che si annullano in x (cioè le f tali che f(x) = 0) costituiscono un sottospazio dello spazio Fun(X, K) di tutte le funzioni da X in K. Inoltre le funzioni da X in K che si annullano sia in x che in un secondo punto y di X costituiscono un sottospazio del precedente.
- L'insieme delle funzioni continue Cont(R, R) da R in R fornisce un sottospazio di Fun(R, R), e l'insieme delle funzioni derivabili Der(R, R) costituisce un sottospazio di Cont(R, R).
[modifica] Operazioni sui sottospazi
L'intersezione U ∩ W di due sottospazi U e W di V è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in R3 passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.
L'unione U ∪ W invece generalmente non è un sottospazio. U ∪ W è un sottospazio se e solo se U ⊆ W oppure W ⊆ U. Una composizione di due sottospazi U e W che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma U + W, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma u + w di un vettore u di U e di uno w di W. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in R3 è il piano che le contiene.
La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi U, W, U ∩ W e U + W.
L'ortogonale 
di uno sottospazio vettoriale W di uno spazio V su cui sia definita una forma bilineare b è l'insieme dei vettori v tali che b(v,w)=0 per ogni w in V.
[modifica] Quoziente di uno spazio vettoriale
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Per approfondire, vedi la voce Spazio vettoriale quoziente. |
Se W è un sottospazio vettoriale di V, si può costruire il gruppo quoziente V/W e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.
Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza v ≈ w se e solo se v - w ∈ N. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come v + N. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:
- (v + N) + (w + N) = (v + w) + N
- λ (v + N) = (λv) + N
Si definisce infine la codimensione di un sottospazio vettoriale come la dimensione di V/W. Se V è finito-dimensionale, questo è esattamente:
- codim(W)=dim(V/W)=dim(V)-dim(W)
[modifica] Voci correlate
[modifica] Bibliografia
- A. Cavicchioli e F. Spaggiari, Primo modulo di geometria, Pitagora Editrice Bologna, 2002, ISBN 8837113560
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