Subespacio vectorial

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El concepto de subespacio vectorial es importante en álgebra y otros campos relacionados con la matemática.

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Condición de existencia de subespacio
2 Operaciones con subespacios
3 Dimensiones de subespacios
- 3.1 Fórmula de Grassman (o Teorema de las dimensiones)
  - 3.1.1 En la suma directa
4 Véase también

[editar] Definición

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.

[editar] Condición de existencia de subespacio

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.

$S \neq \emptyset$

2. S es igual o está incluído en V.

$S \subseteq V$

3. La suma es ley de composición interna.

$\forall \vec{x} \in S \land \forall \vec{y} \in S \Rightarrow \vec{x} + \vec{y} \in S$

4. El producto es ley de composición externa.

$\forall \vec{x} \in S \land \forall a \in K \Rightarrow a \cdot \vec{x} \in S$

Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

[editar] Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

[editar] Unión

$S \cup W = [X \in V / X \in S \vee X \in W]$
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna.

[editar] Intersección

$S \cap W = [X \in V / X \in S \land X \in W]$
La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

[editar] Suma

$S + W = [X \in V / X = (X_1 + X_2) \wedge X_1 \in S \wedge X_2 \in W]$
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

[editar] Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si $S \cap W = \vec{o} \Rightarrow S \oplus W$ .

[editar] Dimensiones de subespacios

[editar] Fórmula de Grassman (o Teorema de las dimensiones)

Sean los subespacios $S$ , $W$ del espacio vectorial $V$ :

$\dim(S + W)=\dim(S)+\dim(W)-\dim(S \cap W)$

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios $S$ y $W$ será igual a la dimensión del subespacio $S$ más la dimensión del subespacio $W$ menos la dimensión de la intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo $dim(S) = 3$ y $dim(W) = 2$ y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, $dim(S + W) = 4$ .

[editar] En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como $S \cap W = \vec{o} \Rightarrow \dim(S \cap W) = 0$ .
La fórmula de Grassman resulta:

$\dim(S \oplus W)=\dim(S)+\dim(W)$

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría $\dim(S \oplus W)=5$ .

[editar] Véase también

$Ver el portal sobre Subespacio vectorial$ Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.
Espacio vectorial
Combinación lineal
Sistema generador
Independencia lineal
Base (álgebra)
Base Ortogonal
Base Ortonormal
Producto escalar
Producto vectorial
Producto mixto

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