Princip maximality

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.

Obsah

1 Formulace principu
2 Postavení principu v teorii množin
3 Příklady použití principu
- 3.1 Trichotomie mohutnosti
- 3.2 Rozklady nekonečných množin
4 Související články

[editovat] Formulace principu

[editovat] Pomocná definice - řetězec

Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R. Podmnožinu $B \subseteq A$ nazveme řetězcem, pokud je tato množina lineárně uspořádána relací R.

[editovat] Princip maximality

Pokud je množina A uspořádána relací R tak, že každý řetězec je shora omezený, pak pro každý prvek $x \isin A$ existuje maximální prvek $x_{max} \isin A$ takový, že platí $x \leq_R x_{max}$ .

[editovat] Princip minimality

Vzhledem k dualitě pojmů týkajících se upořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro minimální prvky:

Pokud je množina A uspořádána relací R tak, že každý řetězec je zdola omezený, pak pro každý prvek $x \isin A$ existuje minimální prvek $x_{min} \isin A$ takový, že platí $x_{min} \leq_R x$ .

Tento princip je ekvivalentní obdobou principu maximality.

[editovat] Postavení principu v teorii množin

Princip maximality byl poprvé vysloven Felixem Hausdorffem v roce 1914. Hausdorff zároveň dokázal tento princip za použití axiomu výběru.

Později byla dokázána i opačná implikace, tj. tvrzení, že z principu maximality plyne axiom výběru. Princip maximality tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s axiomem výběru (jako například princip dobrého uspořádání), které jsou nezávislé na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou ZF. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k ZF získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako ZFC.

[editovat] Příklady použití principu

[editovat] Trichotomie mohutnosti

Relace „mít stejnou nebo menší mohutnost jako“ je trichotomická pro všechny množiny (tj. na univerzální třídě).
Jinými slovy: z principu maximality plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).

[editovat] Rozklady nekonečných množin

Předpokládejme, že A je nekonečná množina. Potom platí, že

Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její kartézský součin s dvouprvkovou množinou: $A \approx A \times \{ 0,1 \} \,\!$
Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina: $A \approx A \times A \,\!$