Implikace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Logická implikace (používá se pro ni symbol $\implies$ nebo →) je binární logická operace, jejíž hodnota je nepravda, právě když první vstupní hodnota je pravda a druhá je nepravda.

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Význam a příklady
4 Související články

[editovat] Definice

Pro vstupy A a B vypadá pravdivostní tabulka implikace následovně (0 označuje nepravdivé tvrzení, 1 označuje pravdivé tvrzení):

A	B	A $\implies$ B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

[editovat] Vlastnosti

$( A \implies B) = ( \neg A \vee B)$ – náhrada implikace disjunkcí
$( A \implies B) = ( \neg B \implies \neg A )$ – obměna implikace

Výraz na pravé straně rovnosti v druhé z výše uvedených vlastností se nazývá obměna implikace nebo také obměněná implikace. Tato vlastnost říká, že pokud se mi podaří dokázat, že z B nevyplývá negace A, pak jsem dokázal pravdivost původní implikace (z A vyplývá B). Toho se využívá v technice matematického nepřímého důkazu.

[editovat] Význam a příklady

Implikace významově odpovídá podmínkové větě v běžném hovoru „Jestliže A, potom B“, „Kdyby A, pak B“. Z toho také vyplývají její vlastnosti tak, jak je zachycuje pravdivostní tabulka.

[editovat] Příklad první

Když bude dneska pršet, tak půjdu do práce. (Protože co jiného by se taky dalo přes den dělat, když prší.)

Uvědomme si, že tato věta může být pravdivá, i když nepůjdu do práce - stačí aby nepršelo a podle prvního řádku pravdivostní tabulky budu mít stejně pravdu.
Dále si uvědomme, že tato věta nevypovídá nic o tom, co se stane, když nebude pršet - v takovém případě (první a druhý řádek pravdivostní tabulky) můžu do práce nejít nebo jít a nikdo mi nemůže tvrdit, že jsem lhal. Určitě existuje spousta lidí, kteří chodí do práce, i když neprší - a nemusí kvůli tomu všichni být lháři.

[editovat] Příklad druhý

Jestli to Miloš přeplave, jsem já čínský bůh dobré nálady.

V tomto příkladě ten, kdo výrok vyslovil, obvykle ani na okamžik nepřemýšlí o tom, že by byl čínským bohem dobré nálady. Nesmyslností druhého výroku se snaží pouze zdůraznit, že podle něj nikdy nebude pravdivá ani první věta - a podle prvního řádku pravdivostní tabulky tedy zůstane celá implikace pravdivá, ať už se Miloš při pokusu dokázat opak utopí, nebo radši rovnou zůstane na břehu. Malér nastává ve chvíli, kdy to Miloš opravdu přeplave - pak nezbývá, než sám sebe označit za lháře (podle třetího řádku pravdivostní tabulky) nebo se rychle stát čínským bohem dobré nálady.

[editovat] Souvislost implikace s matematickými důkazy

Z vlastností implikace vyplývá její užitečnost pro případ, kdy se chci přesvědčit, že nějaký výrok $X$ je pravdivý a mám již nějaké jiné výroky $A_1, A_2, \ldots,A_n$ , o jejichž pravdivosti jsem přesvědčen.
Stačí mi nade vší pochybnost prokázat pravdivost výroku:
$(A_1 \and A_2 \and \ldots \and A_n) \implies X$
Pokud se mi to podaří, pak podle pravdivostní tabulky musí být pravdivý i výrok X - to je podstata přímého důkazu.