משפט החתונה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בקומבינטוריקה, משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי פיליפ הול, הוא משפט שנותן תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.

נניח שיש לנו קבוצת נשים וקבוצת גברים וכל אישה מעוניינת בקבוצה חלקית כלשהי של הגברים. נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אישה גבר שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי כמובן). ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים. ניתן להכליל דרישה זו לכל קבוצת נשים. כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל $\!\,k$ נשים תהינה מעוניינות בלפחות $\!\,k$ גברים. משפט הול טוען כי תנאי זה הינו גם תנאי מספיק. נוסח לא פורמלי (אם כי מדויק לחלוטין) זה הוא שהעניק למשפט את כינויו.

[עריכה] ניסוח פורמלי

תהא $\!\,S_1,\dots ,S_n$ משפחה של קבוצות סופיות. קבוצת נציגים ייחודיים של המשפחה הזו היא קבוצה של איברים $\!\,a_1,\dots ,a_n$ כך שכל שני איברים שונים זה מזה, $\!\, i\ne j \rArr a_i\ne a_j$ וכן $\!\,a_i\isin S_i$ (איבר זה הוא הנציג של אותה קבוצה).

על פי משפט החתונה, תנאי הכרחי ומספיק לקיום של קבוצת נציגים ייחודיים למשפחת קבוצות נתונה הוא שלכל תת קבוצה של המשפחה, $\!\,T=\left\{S_{i_1},\dots,S_{i_t}\right\}$ יתקיים $\!\,\left |\cup S_{i_k}\right |\ge t$ , כלומר בכל $\!\,t$ קבוצות שונות של המשפחה יש לפחות $\!\,t$ איברים שונים בכל הקבוצות.

קל לראות שהתנאי הכרחי - אם עבור $\!\,t$ קבוצות כלשהן יש פחות מ $\!\,t$ איברים שונים, בהכרח כל בחירת נציגים עבור הקבוצות תהיה כזו שבה נציג אחד נבחר לפחות פעמיים.

המשפט ניתן להרחבה גם עבור מספר אינסופי של קבוצות, תוך שימוש בלמה של צורן.

למשפט יש גם הרבה שימושים מעניינים שאינם קשורים לשידוכים. לדוגמה, בהינתן חפיסת קלפים סטנדרטית, שמחולקת ל-13 רביעיות (בסדר כלשהו), ניתן להראות באמצעות משפט החתונה שניתן לבחור קלף אחד בדיוק מכל רביעיה כך ש-13 הקלפים הנבחרים יכילו בדיוק קלף אחד מכל 'מספר' (אס, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, נסיך, מלכה ומלך).

[עריכה] ניסוח עבור גרפים

דרך אחרת לנסח את המשפט היא עבור גרפים דו צדדיים. אם $\ G=(S+T,E)$ הוא גרף דו צדדי, אז קיים בו שידוך המכסה את צד $\ S$ אם ורק אם לכל תת קבוצה $\ X\subseteq S$ מתקיים $\ \|X\|\le\|N_G(X)\|$ , כאשר $\ N_G(X)$ הוא אוסף השכנים של צמתים ב- $\ X$ . הדמיון לניסוח הקודם ברור - הקבוצה $\ S$ מייצגת את משפחת הקבוצות שעבורן בוחרים נציגים, הקבוצה $\ T$ את אוסף האיברים שהקבוצות במשפחה יכולות להכיל, וקשת מייצג קשר של הכלה.

[עריכה] מספר האפשרויות

מהוכחת המשפט ניתן גם לתת חסם תחתון למספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור נציגים ייחודיים. אם $\!\,t$ הוא גודלה המינימלי של הקבוצה הקטנה מכל הקבוצות ו- $\!\,n$ הוא מספר הקבוצות, הרי שאם מתקיים $\!\,t\ge n$ , מספר האפשרויות הוא לפחות $\!\,t\cdot(t-1)\cdot\dots\cdot(t-n+1)$ אפשרויות. אם $\!\,t<n$ , הרי שיש לפחות $\!\,t!$ אפשרויות. נשים לב כי זהו חסם נמוך מאוד, ולעתים קרובות מספר האפשרויות גדול ממנו בהרבה.