האלכסון של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

האלכסון של קנטור - הוכחתו של גאורג קנטור שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה כלומר, לא קיימת התאמה חד-חד ערכית בינם לבין המספרים הטבעיים.

[עריכה] הוכחה

ההוכחה מתבססת על ההצגה העשרונית של המספרים הממשיים. כל מספר ממשי ניתן להציג כסדרה אינסופית של ספרות (לעתים כולן 0 החל ממקום מסוים). אנחנו נוכיח שהקטע (0,1) אינו בן מנייה. בקטע זה ההצגה של כל מספר מתחילה בספרה 0, אחריה נקודה עשרונית ואחריה סדרה אינסופית של ספרות. נשמיט את כל המספרים שמסתיימים בסדרה אינסופית של 9, שכן סדרות אלו מייצגות מספר ממשי שניתן לייצגו בשתי דרכים (ראו הערך 0.999...). כעת יש לנו התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הסדרות לבין המספרים הממשיים בקטע (0,1).

כעת נניח בדרך השלילה שהמספרים הממשיים בקטע (0,1) הם בני מנייה, כלומר לכל מספר ממשי בקטע ניתן להתאים מספר טבעי כלשהו. יהי $\!\, r_1,r_2,r_3,\dots$ הספרור שלהם. כעת נבנה מספר בקטע (0,1), שפיתוחו הוא סדרה שערך האיבר במקום ה- n שלה נקבע על ידי הספרה ה- n בהצגה של המספר $\!\, r_n$ .

את המספר שלנו נבנה כך: אם הספרה ה-n בפיתוח העשרוני של המספר $\!\, r_n$ היא 2, במספר שלנו הספרה ה-n תהיה 1. אחרת, היא תהיה 2.

בצורה פורמלית, אם $\!\, r_n=0.r_n^1r_n^2\dots$ הוא הפיתוח העשרוני של המספר $\!\, r_n$ , (הספרות העליונות הן אינדקסים שמציינים את מיקום הספרה בפיתוח של המספר) הרי שהמספר שלנו יוגדר בתור $\!\, r=0.r^1r^2\dots$ כאשר $r^n =\left\{ \begin{matrix} 1 & r_n^n=2 \\ 2 & r_n^n \ne 2 \end{matrix} \right.$

דוגמה: נניח שסדרת המספרים שלנו היא כזו:

$\!\,r_1=0.\mathbf{2}105110\dots$

$\!\,r_2=0.4\mathbf{1}32043\dots$

$\!\,r_3=0.82\mathbf{4}5026\dots$

$\!\,r_4=0.233\mathbf{2}126\dots$

$\!\,r_5=0.4107\mathbf{0}46\dots$

$\!\,r_6=0.99378\mathbf{3}8\dots$

$\!\,r_7=0.010513\mathbf{2}\dots$

$\!\,\dots$

הספרות הבולטות הן הספרות שמעניינות אותנו. בדוגמה הנוכחית, המספר שאנו בונים ייראה כך: $\!\,r=0.1221221\dots$ .

המספר אותו בנינו נמצא בקטע (0,1), אך לא ייתכן שהוא נכלל בספרור שעשינו, שכן עבור כל מספר טבעי n, המספר שבנינו שונה מהמספר $\!\, r_n$ בספרה אחת לפחות. מכאן שההנחה כי הקטע (0,1) הוא בן מנייה איננה נכונה.

הקטע (0,1) הוא תת קבוצה של הישר הממשי, ולכן אם קטע זה אינו בן מנייה הרי גם הישר הממשי כולו אינו בן מנייה, ובזאת הושלמה ההוכחה.

הוכחה זו מראה שיש לפחות שתי עוצמות שונות, כלומר שני גדלים שונים של אינסוף: העוצמה של המספרים הטבעיים, שאותה סימן קנטור באות העברית $\!\ \aleph_0$ (קרי: אלף אפס), ועוצמת הממשיים, שאותה סימן באות $\!\ \aleph$ (זה הסימון המקובל בקרב המתמטיקאים עד היום).

מהקטע (0,1) ניתן לבנות פונקציה חד-חד ערכית ועל אל כל הישר הממשי, וכך להראות שעוצמותיהם שוות.

בהוכחה זו הראינו שקיימות לפחות שתי עוצמות שונות זו מזו. קפיצת דרך גדולה נעשית במשפט קנטור (לקבוצת החזקה), שמראה שקיימים אינסוף גדלים שונים של אינסוף: לכל קבוצה אינסופית, קבוצת החזקה שלה היא בעלת עוצמה גדולה יותר.