Grupo (matemática)

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Em matemática, grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz certos axiomas, dados abaixo. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros é um grupo com relação à operação de adição.

O ramo da matemática que estuda os grupos é chamado de Teoria de grupos. A origem histórica da Teoria de grupos remonta ao trabalho de Evariste Galois (1830), e ao estudo de equações algébricas e suas soluções.

Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e espaços vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas.

Índice 1 Definição 2 Exemplos 3 Teoremas 4 Homomorfismos 4.1 Definição 4.2 Exemplos 4.3 Propriedades 4.4 Tipos de homomorfismos 5 Subgrupos 6 Ver também

[editar] Definição

Um grupo (G, * ) é um par ordenado, em que G é um conjunto não-vazio e * é uma operação binária definida para seus elementos que obedece aos seguintes axiomas:

• Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c);
• Existência da identidade: Existe um elemento e em G tal que e * a = a * e = a.
• Existência do inverso: Para todo a existe um b tal que a * b = b * a = e, onde e é a identidade (b é chamado o inverso de a).

É costume designar o grupo identificando-o com o próprio conjunto, quando não há perigo de confusão.

A ordem de um grupo |G| é a cardinalidade de G.

[editar] Exemplos

• O menor grupo é formado por um único elemento.
• O conjunto {1, − 1} é um grupo relativamente à multiplicação usual.
• O conjunto de todas as bijecções do conjunto em si próprio é um grupo se se considerarar como operação binária a composição. Este grupo representa-se por S_n.
• Um exemplo de grupo de ordem finita é o grupo Klein 4 G = {e,a,b,c} onde e é o elemento neutro, todo elemento é seu próprio inverso, e as demais operações são definidas de forma que se x, y e z são três elementos distintos, então x * y = z.
• O conjunto (,+), formado pelos números entre 0 e n − 1, em que a soma é feita módulo n, é um grupo. Por exemplo, em , temos que 20 + 30 = 8.

[editar] Teoremas

A identidade de um grupo é única. Demonstração: suponha e e e' são duas identidades. Então, para todo g ∈ G, é verdade que g * e' = e' * g = g. Em particular, temos e * e' = e. Também é verdade que, para todo g ∈ G, g * e = e * g = g. Em particular, para g = e', temos e * e' = e'. Portanto, e = e * e' = e'. Note-se que esta prova não usa nenhuma outra propriedade do grupo além da existência da identidade.

Um elemento de um grupo G possui apenas um inverso. Demonstração: seja g ∈ G e sejam x e x' inversos de g. Então

x = x * e = x * (g * x') = (x * g) * x' = e * x' = x'.

Está visto que o elemento inverso de g é único. Representa-se por g ^{− 1}.

Em um grupo temos (xy) ^{− 1} = y ^{− 1}x ^{− 1}. Demonstração: Temos que (xy) ^{− 1}(xy) = e. Daí (xy) ^{− 1}x = y ^{− 1} e finalmente (xy) ^{− 1} = y ^{− 1}x ^{− 1}.

[editar] Homomorfismos

[editar] Definição

Sejam (G, * ) e (H, * ) dois grupos e seja f uma função de G em H. Diz-se que f é um homomorfismo se

.

[editar] Exemplos

• Para qualquer grupo G, a função f de G em G definida por f(x) = x é um homomorfismo. O mesmo acontece se se definir f(x) = e.
• Considere-se em R \ {0} e em {1, − 1} a multiplicação usual. Então a função f de R \ {0} e em {1, − 1} definida por f(x) = x / | x | é um homomorfismo de grupos.

[editar] Propriedades

Se f for um homomorfismo de G em H e se e_G e e_H forem os elementos neutros de G e de H respectivamente, então f(e_G) = e_H. Isto porque

f(e_G) = f(e_G * e_G) = f(e_G) * f(e_G)

e e_H é o único elemento x ∈ H tal que x * x = x.

Se f for um homomorfismo de G em H e se x ∈ G, então

f(x) ^{− 1} = f(x ^{− 1}).

Isto porque

f(x ^{− 1}) * f(x) = f(x ^{− 1} * x) = f(e_G) = e_H

e, portanto, f(x ^{− 1}) é o inverso de f(x).

[editar] Tipos de homomorfismos

Se f for um homomorfismo de G em H, diz-se que

• f é um monomorfismo se for injectivo;
• f é um epimorfismo se for sobrejectivo;
• f é um isomorfismo se for simultanemente um monomorfismo e um epimorfismo, ou seja, se for uma bijecção;
• f é um endomorfismo se G = H;
• f é um automorfismo se for simultaneamente um endomorfismo e um isomorfismo.

Se f for um isomorfismo, então tem uma inversa (pois é uma bijecção). A função f ^{− 1} é também um homomorfismo de grupos e, portanto, um isomorfismo.

Diz-se que dois grupos G e H são isomorfos se existir um isomorfismo de G.

Exemplos:

• O grupo (R, + ) dos números reais (com a adição) e o grupo dos números reais maiores do que 0 (com a multiplicação) são isomorfos, pois a função exponencial é um isomorfismo de R em .
• O grupo (Q, + ) dos números racionais (com a adição) e o grupo  ∩ Q,.) dos números racionais maiores do que 0 (com a multiplicação) não são isomorfos. Basta ver que se f for um homomorfismo do primeiro no segundo e que se houver algum q ∈ Q tal que f(q) = 2, então

f(q / 2)² = f(q / 2).f(q / 2) = f(q / 2 + q / 2) = f(q) = 2,

mas 2 não tem nenhuma raiz quadrada racional.

[editar] Subgrupos

Ver artigo principal: Subgrupo

Definição: Dado um grupo (G, * ) dizemos que um subconjunto H de G é um subgrupo, quando (H, * ) é um grupo.

[editar] Ver também

• Acção de um grupo
• Grupóide (estrutura algébrica), apenas um conjunto com uma operação binária
• Monóide, quando a operação binária é associativa e tem elemento neutro, mas não necessariamente tem elemento inverso
• Semigrupo
• Grupo topológico, quando existe uma topologia consistente com a operação binária
• Grupo abeliano, um grupo em que a operação binária é comutativa
• Grupo ordenado, um grupo com uma relação de ordem compatível com a sua operação binária
• Grupo de simetria
• Grupo diedral