Espaço vetorial

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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o de espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a n (n ∈ N) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes m × n e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Índice 1 Definição 2 Propriedades 3 Terminologia 4 Tipos de Espaços Vectoriais 5 Veja também 6 Ligações externas

[editar] Definição

Um espaço vectorial é uma entidade formada dos seguinte elementos:

1. Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
2. Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de em V. Os elementos de V serão chamados de vetores.
3. Uma operação . de em V.

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, estão sendo usados símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a + b para elementos de K não é o mesmo que a + b para elementos de V, assim como a.b para elementos de K não é o mesmo que a.b quando a ∈ K e b ∈ V. Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de K e para as operações de em V e de em V. Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com 6 elementos) .

Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:

1. (u + v) + w = u + (v + w) para u, v e w elementos de V (associatividade)
2. Há um elemento 0 ∈ V, tal que, para cada v ∈ V, v + 0 = 0 + v = v (existência de elemento neutro)
3. Para cada v ∈ V, existe u ∈ V tal que v + u = 0 (existência de elemento inverso)
4. Para cada v,u ∈ V, u + v = v + u (comutatividade)
5. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, a.(b.v) = (a.b).v
6. Se 1 é a unidade de K, então, para cada v ∈ V, 1.v = v
7. Para cada a ∈ K e cada v,u ∈ V, a.(v + u) = a.v + a.u
8. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, (a + b).v = a.v + b.v

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento v cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por − v.

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo K, e definir adição em V e multiplicação por escalar em V. Então se V satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo K.

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento inverso em V) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

• Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K. Então, como 1.v = v qualquer que seja v, temos que 0.v + v = 0.v + 1.v = (0+1).v = 1.v = v, ou seja, 0.v é o elemento neutro de V
• Em K, existe um elemento -1 tal que -1 + 1 = 0. Logo, (-1).v + v = (-1).v + 1.v = (-1 + 1).v = 0.v, ou seja, (-1).v é o elemento inverso de v.

[editar] Propriedades

• Se v ∈ V, então 0.v = 0. Isto é assim porque

0 = 0.v − 0.v0.v = (0 − 0).v = 0.v.

• Se a ∈ K, então a.0 = 0. Isto é assim porque

0 = a.0 − a.0 = a.(0 − 0) = a.0.

• Se v ∈ V, ( − 1).v = − v. Isto é assim porque

( − 1).v + v = ( − 1).v + 1.v = (( − 1) + 1).v = 0.v = 0.

• Se a ∈ K e v ∈ V, então a.( − v) = − (a.v). Isto é assim porque

a.( − v) + a.v = a.( − v + v) = a.0 = 0.

[editar] Terminologia

• Um espaço vectorial sobre R, o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
• Um espaço vectorial sobre C, o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
• Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

[editar] Tipos de Espaços Vectoriais

• Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.

• Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.

• Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida

• Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.

• Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.

[editar] Veja também

• Base de um Espaço Vetorial
• Subespaço vetorial
• Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
• Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas

[editar] Ligações externas

• Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.