Gruppe (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallteori

I matematikk er en gruppe en ikke-tom mengde, sammen med en binæroperasjon som tilfredsstiller visse aksiomer. Den grenen av matematikk hvor grupper studeres kalles gruppeteori. Gruppeteori ble utviklet på attenhundretallet. Et par av de største bidragsyterne var Evariste Galois og Niels Henrik Abel.

Innhold 1 Definisjon 1.1 Notasjon 2 Viktige konsepter 2.1 Kardinalitet 2.2 Orden 2.3 Undergruppe 3 Eksempler

[rediger] Definisjon

En gruppe er et par (G,×), hvor G er en mengde og × en binæroperasjon, slik at hvis a og b er to (ikke nødvendigvis forskjellige) elementer i G, så er a×b definert, og hvor følgende aksiomer er oppfylte:

Lukkethet 

Hvis a og b er elementer i G, er også a×b et element i G.

Assosiativitet 

(a×b)×c = a×(b×c), for alle a, b, c i G.

Identitet 

Det finnes et element e i G, slik at for alle a i G gjelder det at

e×a = a×e = a.

Invers 

For enhver a i G eksisterer det et element a' i G slik at

a×a' = a'×a = e.

I tillegg kalles en gruppe abelsk hvis a×b=b×a for alle par av elementer a og b i G.

[rediger] Notasjon

Når det ikke er fare for flertydighet, skriver kaller man ofte en gruppe G istedenfor å skrive (G,×).

Istedenfor a×b er det vanlig å utelate symbolet for binæroperasjonen og skrive ab. For abelske grupper brukes ofte addisjonssymbolet + istedenfor ×. I dette tilfellet kan binæroperasjonssymbolet ikke utelates.

Hvis n er et naturlig tall, betegner aⁿ at binæroperasjonen × utføres på a et antall n ganger. a¹ = a, og a⁰=e, der e er identitetselementet.

[rediger] Viktige konsepter

[rediger] Kardinalitet

Kardinaliteten til en gruppe er lik antall elementer i mengden G.

[rediger] Orden

Hvis a er et element i G, og det finnes et naturlig tall n, slik at aⁿ = e, der e er identitetselementet, så er ordenen til a lik det minste tallet m, slik at m > 0 og a^m = e. Hvis det ikke finnes noe slikt tall, har a uendelig orden. Hvis gruppen er endelig, vil kardinaliteten til gruppen alltid være delelig med ordenen til ethvert av elementene.

[rediger] Undergruppe

Hvis H er en undermengde av G, og a×b er et element i H for ethvert par av elementer a og b i H, så kalles (H,×) en undergruppe av G. En av de meste grunnleggende teoremene i gruppeteori er Lagranges teorem som sier at hvis G er en endelig gruppe og H er en undergruppe av G, så vil kardinaliteten til G være delelig med kardinaliteten til H.

[rediger] Eksempler

Heltallene utgjør en gruppe under addisjon, med 0 som enhetselementet. Mengden av de de rasjonale (eller reelle) tallene, bortsett fra null, utgjør en gruppe under multiplikasjon, med 1 som enhetselementet.

Et mer avansert eksempel er gruppen av permutasjoner av n element. Et annet eksempel er gruppen av symmetrier til et regulært polygon.