Ligning (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Viktig opprydning: Denne artikkelen dekker et viktig tema, men har for dårlig standard og trenger en opprydning for å ordne dette.

Områder i algebra
Abstrakt algebra
Grupper Ringer Kropper
Algebraisk geometri
Elementær algebra
Ligninger Funksjoner
Kombinatorikk
Lineær algebra
Vektorrom Matriser
Tallteori

Andre betydninger: Ligning

En ligning er et matematisk uttrykk på formen $A = B$ , hvor A og B kan bestå av tall, ukjente størrelser eller mer sammensatte uttrykk. En ligning består av en eller flere ukjente størrelser. Ofte bruker en x, y og z for å representere de ukjente. En ligning representerer oftest en matematisk modell av et «problem». Å «løse en ligning» vil si å finne de ukjente - løse problemet - ved hjelp av ulike metoder.

Innhold

1 Eksempel
2 Å løse ligninger
- 2.1 Ligning med en ukjent
- 2.2 Ligninger med to ukjente
3 Annengradsligninger
4 Ekstern lenke

[rediger] Eksempel

Ligning med én ukjent

2 x + 6 = 4 x - 6

Ligning med to ukjente

y = 6 x + 8

y = 7 x

Annengradsligning

6 x 2 + 7 x = 90

[tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]

[rediger] Å løse ligninger

[rediger] Ligning med en ukjent

Tenk på ligningen som en vekt. For at ligningen skal være i balanse, må begge sidene være like. Dette gjør man ved å gjøre det samme med begge sidene. Hvis det står + 6, så gjør man -6 for å flytte til den andre siden.

2x + 6 = 4x - 6
Ligningen
2x + 6 - 4x - 6 = 4x - 6 - 4x - 6
Samle leddene med x på venstre side og de rene tallene på høyre side
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6
Løsningen

Det går an å gjøre det enklere:

2x + 6 = 4x - 6
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6

[rediger] Ligninger med to ukjente

For å løse ligninger av dette slaget, må man ha et «ligningssett», altså to definisjoner av verdien til den andre ukjente.

y = 2x + 18
y = 3x - 9

Det finnes tre måter å løse ligningssettet på.

[rediger] Grafisk

Du kan tegne et koordinatsystem og tegne inn funksjonene y = 2x + 18 og y = 3x - 9. Der linjene krysses, er x lik y. (x=y)

[rediger] Innsettingsmetoden

y = 2x + 18
y = 3x - 9
y = y
2x + 18 = 3x - 9
2x - 3x = -9 - 18
-x / -1 = -27 / -1
x = 27

Så setter man inn verdien 27 for x, og finn ut hvor mye y er.

y = 2x + 18
y = 2 * 27 + 18
y = 54 + 18
y = 72

y = 3x - 9

y = 3 * 27 - 9
y = 81 - 9
y = 72

[rediger] Addisjonsmetoden

y = 2x + 18 | * -1,5
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-1,5y = -3x - 27
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-0.5y * -2 = -36 * -2
y = 72

Så snur man ligningssettet.

y = 2x + 18
2x + 18 = 72
2x = 72 - 18
2x = 54
2x / 2 = 54 / 2
x = 27

y = 3x - 9
3x - 9 = 72
3x = 72 + 9
3x = 81
3x / 3 = 81 / 3
x = 27

[rediger] Annengradsligninger

Annengradsligninger er ligninger der et av leddene er i annen potens og ingen ledd har høyere potens.

$\ ax^2 + bx + c = 0$

Den generelle formelen for å løse annengradsligninger er

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tegnet ± betyr pluss eller minus.

Eksempel:

$\ -14x^2 + 9x + 1000 = 0$

$\begin{matrix} x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot -14 \cdot 1000}}{2 \cdot -14} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 56000}}{-28} \\ \end{matrix}$

$\ x$ er to forskjellige tall.

$\begin{matrix} x_1 & = & \frac{-9 + 236,814}{-28} \\ x_1 & = & -8,136 \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} x_2 & = & \frac{-9 - 236,814}{-28} \\ x_2 & = & 8,779 \end{matrix}$

Et grundigere eksempel:

$\ x^2 + 9x + 5 = 0$

konstantene a=1, b=9 og c=5

$\begin{matrix} x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 9 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{81-45}}{2} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{36}}{{2}} \\ x & = & \frac{-9\pm 6}{2} \\ x & = & \frac{-9+6}{2} \\ x & = & \frac{-3}{2} \\ x & = & -1,5 \\ \end{matrix}$