Andregradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Uoversatt: Denne artikkelen er ikke fullstendig oversatt til norsk.

Grafen til andregradsfunksjonen f(x) = x2 − x − 2, og vi ser at den er en parabel.

Grafen til andregradsfunksjonen f(x) = x² − x − 2, og vi ser at den er en parabel.

I matematikk er en andregradsligning en ligning på formen

$ax^2+bx+c=0; \quad a \ne 0$

Tallene a, b og c blir kalt ligningens koeffisienter, og formelen for å løse den blir av mange kalt ABC-formelen. Om man ser andregradsfunksjonen grafisk, kan man se at det er en parabel (se grafikken til høyre). Løsningene av andregradsligningen ovenfor blir der funksjonslinjen treffer x-aksen (altså hvor y er 0).

Innhold

1 Formelen
2 Diskriminanten
3 Faktorisering av andregradsligning
4 Anvendelse på ligninger av høyere grad
5 Historie
6 Utledning
7 Alternativ formel
8 Viète's formler
9 Generaliseringer
- 9.1 Characteristic 2
10 Referanser
11 Bok

[rediger] Formelen

En annengradsligning med reelle (eller komplekse) koeffisienter har to løsninger, av og til kalt røtter, som kan være både reelle og komplekse, gitt etter kvadratsetningen:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

hvor symbolet «±» indikerer at både

$x_+ = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_- = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a},$

er løsninger. Om diskriminanten (se punktet nedenfor) er null, blir disse to løsningene det samme, og vi sier at ligningen har én løsning.

[rediger] Diskriminanten

Uttrykket inne i rottegnet i formelen over;

$\displaystyle b^2 - 4ac$ ,

kalles diskriminanten til andregradsligningen. Diskriminanten betegnes ofte med Δ (den store greske bokstaven delta):

$\Delta = b^2 - 4ac , \,\!$

Andregradsligninger med reelle tallkoeffisienter (altså hvor a, b og c er reelle tall) kan ha én eller to reelle løsninger, eller to komplekse løsninger. For denne typen andregradsligninger vil diskriminanten bestemme antall og type løsninger. Det er tre tilfeller:

Om diskriminanten er positiv, vil funksjonen ha to reelle løsninger.

Om diskriminanten er lik null, vil funksjonen kun få én reell løsning. En måte å se dette på er at telleren i andregradsligningen forenkles til -b, siden ± 0 (kvadratroten av null er null) vil ikke utgjøre noe forskjell. Derfor kan vi fjerne ± og hele kvadratroten, og sette opp denne resten:

$\frac{-b}{2a}$

Om løsningen av diskriminanten er negativ, får andregradsfunksjonen ingen reelle løsninger, men i stedet to komplekse løsninger. Disse vil være komplekse konjugater av hverandre:

$x_1 = \frac{-b}{2a} + i \left( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right)$

$x_2 = \frac{-b}{2a} - i \left( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right),$

hvor $\displaystyle i$ er den imaginære enheten, det vil si løsningen av:

$\displaystyle i^2 = -1.$

Andregradsligningen har altså distinkte løsninger hvis og bare hvis diskriminanten er ulik null, og løsningene er relle hvis og bare hvis diskriminanten er ikke-negativ.

Om man ser på andregradsfunksjonen grafisk, har man to reelle løsninger (dvs når diskriminanten blir positiv) når parabelen skjærer x-aksen på to forskjellige steder. Blir diskriminanten 0, altså et reellt svar, tangerer parabelen x-aksen. Om den blir negativ krysser ikke parabelen x-aksen i det hele tatt.

[rediger] Faktorisering av andregradsligning

Uttrykket

$x - r,\,$

er en faktor i polynomet

$ax^2+bx+c, \$

hvis og bare hvis r er en rot i andregradsligningen

$ax^2+bx+c=0. \$

Det følger fra kvadratsetningene

$ax^2+bx+c = a \left( x - \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \right). \$

I det spesielle tilfellet hvor andregradsligningen bare har en rot (dvs. diskriminanten er null), kan andregradsligningen faktoriseres som

$ax^2+bx+c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2.\,\!$

[rediger] Anvendelse på ligninger av høyere grad

Visse høyere grads ligninger kan være på kvadratisk form, slik som:

$2x^6 + 3x^3 + 5 = 0,\,$

som kan skrives som

$2u^2 + 3u + 5 = 0, \$

hvor

$u = x^3 \$ .

Merk at høyeste eksponent er det dobbelte av verdien på eksponenten til det midtre uttrykket. Denne ligningen kan løses direkte eller med en enkel substitusjon ved hjelp av kvadratsetningene.

Hvis polynomet er kvadratisk med hensyn til en variabel u hvor

$u = x^n \,\;$

kan kvadratsetningene brukes til å løse ligningen.

[rediger] Historie

På leirtavler datert mellom 1800-1600 f.Kr. har babylonere gitt oss de tidligste bevis for oppdagelsen av andregradsfunksjoner, og de ga også tidlig metoder for å løse dem. Den indiske matematikeren Baudhayana brukte først andregradsligninger i formen ax²=c og ax²+bx = c, og ga også metoder for å løse dem.

Babylonske matematikere fra ca. år 400 f.Kr. og kinesiske matematikere fra ca. år 200 f.Kr. brukte kvadratkomplettering for å løse andregradsligninger med positive røtter, men hadde ikke en generell formel. Euklid, en gresk matematiker, kom med en mer abstrakt geometrisk metode rundt 300 f.Kr. Det Bakshaliske manuskript, skrevet i India mellom 200 f.Kr. og 400 e.Kr introduserte den generelle algebraiske formelen for å løse andregradsligninger.

Den første matematikeren som fant negative løsninger med den generelle algebraiske formelen, var Brahmagupta (India, 7. århundre). Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī (Persia, 9. århundre) utviklet et sett av formler som virket for positive løsninger. Den tyrkiske matematikeren ibn Turk var en av de store hjerner i sin tid når det gjelder kvadratiske ligninger. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (også kjent med det latinske navnet Savasorda) introduserte den fullstendige løsningen til Europa i sin bok Liber embadorum i det 12. århundre. Bhaskara II (1114-1185), en indisk matematiker-astronom, også kjent som Bhaskara II og Bhaskara Achārya ("Bhaskara the teacher") løste kvadratiske ligninger med mer enn en ukjent og er kjent som originator av ligningen.^[1]

Shridhara (India, 9. århundre) var en av de første matematikere som ga en generell regel for å løse en kvadratligning. Hans opprinnelige arbeid er tapt men Bhaskara II siterer senere Shridharas regel:

Multipliser begge sider av ligningen med en kjent størrelse lik fire ganger koeffisienten til kvadratet av den ukjente; adder til begge sider en kjent størrelse lik kvadratet av koeffisienten til den ukjente; ta deretter kvadratroten.^[2]

[rediger] Utledning

Kvadratformelen er utledet fra metoden for å fullføre kvadratet ved hjelp av den algebraiske identitet:

$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2.\,\!$

Divider kvadratligningen

$ax^2+bx+c=0 \,\!$

med a (som er tillatt fordi a er ulik null), gir:

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!$

eller

$x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a} \qquad (1)$

Kvadratligningen er nå på en form der metoden for å fullføre kvadratet kan anvendes. Å "fullføre kvadratet" er å finne en konstant k slik at

$x^2 + \frac{b}{a}x + k = x^2+2xy+y^2,\,\!$

for en annen konstant y. For at disse ligningene skal være sanne,

$y = \frac{b}{2a}\,\!$

$k = y^2,\,\!$

følgelig

$k = \frac{b^2}{4a^2}.\,\!$

Addering av denne konstanten til ligning (1) gir

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!$

Venstre side er nå et fullstendig kvadrat fordi

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2} = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2$

Høyre side kan skrives som en brøk med felles nevner

4a². Dette gir

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Ved kvadratroten av begge sider gir

$\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|}\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

Isolere x, gir

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

[rediger] Alternativ formel

I enkelte situasjoner er det ønskelig å uttrykke røttene i en alternativ form.

$x =\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}.$

Men det forutsetter en ytterligere betingelse at c er ulik null. Hvis c er lik null, gir denne formelen null som en rot, men gir ikke en andre rot ulik null. (Når c er null har vi divisjon av null med null, som er ubestemmelig.)

Verdiene til røttene må være de samme uavhengig av hvilket uttrykk vi bruker, så den alternative formen er kun en algebraisk variant av den vanlige formen. For eksempel,

$\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$	$= \frac{\left ( -b + \sqrt {b^2-4ac\ } \right ) \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac\ } \right )}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac\ } \right )}$
	$= \frac{4ac}{2a \left ( -b - \sqrt {b^2-4ac} \right ) }$
	$=\frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}.$

[rediger] Viète's formler

Viète's formler gir en enkel sammenheng mellom røttene til et polynom og dets koeffisienter. I tilfellet kvadratisk polynom, har de følgende form:

$x_+ + x_- = -\frac{b}{a}$

$x_+ \cdot x_- = \frac{c}{a}.$

Den første formelen over er uttrykk for grafen til en kvadratisk funksjon. Siden grafen er symmetrisk med hensyn til en vertikal linje gjennom vertex, når det er to reelle røtter er vertex’s x-koordinaten funnet ved gjennomsnittet av røttene (eller intercepts). Altså er x-koordinaten of vertex gitt ved uttrykket:

$x_V = \frac {x_+ + x_-} {2} = -\frac{b}{2a}.$

y-koordinaten fås ved å substituere resultatet over into the given kvadratisk ligning, som gir

$y_V = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.$

[rediger] Generaliseringer

Formelen og avledninger av den er også riktig hvis koeffisientene a, b og c er komplekse tall, eller mer generelt med i enhver tallmengde med characteristic ikke er 2. (In a field of characteristic 2, the element 2a is zero and it is impossible to divide by it.)

Symbolet

$\pm \sqrt {b^2-4ac}$

i formelen betyr "en av de to elementer som har kvadratet

$b^2-4ac,\,$

hvis elementene eksisterer. I noen tallmengder har enkelte elementer ingen kvadratrøtter og enkelte har to; bare null har bare en kvadratrot, unntatt i mengder of characteristic 2. Note that even if a field does not contain a square root of some number, there is always a quadratic extension field which does, so the quadratic formula will always make sense as a formula in that extension field.

[rediger] Characteristic 2

In a field of characteristic 2, the quadratic formula, which relies on 2 being a unit, does not hold. Consider the monic quadratic polynomial

$\displaystyle x^{2} + bx + c$

over a field of characteristic 2. If b = 0, then the solution reduces to extracting a square root, so the solution is

$\displaystyle x = \sqrt{c}$

and note that there is only one root since

$\displaystyle -\sqrt{c} = -\sqrt{c} + 2\sqrt{c} = \sqrt{c}.$

In summary,

$\displaystyle x^{2} + c = (x + \sqrt{c})^{2}.$

See quadratic residue for more information about extracting square roots in finite fields.

In the case that b ≠ 0, there are two distinct roots, but if the polynomial is irreducible, they cannot be expressed in terms of square roots of numbers in the coefficient field. Instead, define the 2-root R(c) of c to be a root of the polynomial x² + x + c, an element of the splitting field of that polynomial. One verifies that R(c) + 1 is also a root. In terms of the 2-root operation, the two roots of the (non-monic) quadratic ax² + bx + c are

$\frac{b}{a}R\left(\frac{ac}{b^2}\right)$

and

$\frac{b}{a}\left(R\left(\frac{ac}{b^2}\right)+1\right).$

For example, let a denote a multiplicative generator of the group of units of F₄, the Galois field of order four (thus a and a + 1 are roots of x² + x + 1 over F₄). Because (a + 1)² = a, a + 1 is the unique solution of the quadratic equation x² + a = 0. On the other hand, the polynomial x + ax + 1 is irreducible over F₄, but splits over F₁₆, where it has the two roots ab and ab + a, where b is a root of x² + x + a in F₁₆.

This is a special case of Artin-Schreier theory.

(markert, engelsk tekst trenger oversettelse)

[rediger] Referanser

[rediger] Bok

Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulae from the Vedas, av Swami Sankaracarya (1884-1960) på engelsk språk. Motilal Banarsidass Indological Publishers and Booksellers, Varnasi, India, 1965; trykket igjen i Delhi, India, 1975, 1978. 367 sider.

Kategori: Algebra

Skjult kategori: Ikke ferdig oversatte artikler

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.