Equação quadrática

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Equação quadrática ou equação do segundo grau é toda sentença matemática aberta da forma:

onde a, b e c são coeficientes e pertecem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de ser a diferente de zero.

A quantidade x, figurante no trinômio que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado — se existir no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

Equação quadrática é equação algébrica polinomial de grau dois, aplicando-se-lhe a teoria e as propriedades das equações polinomiais.

Índice 1 Introdução e nomenclatura 2 Solução da equação quadrática: A fórmula de Bhaskara 2.1 Outro processo de determinar os zeros duma equação do segundo grau 3 Propriedades matemáticas 3.1 Delta 3.2 Forma (S,P) da equação quadrática 3.3 Domínio e imagem da função 4 Estudo do gráfico

[editar] Introdução e nomenclatura

A restrição imposta de ser a diferente de zero é de imediata compreensão: com efeito, se a = 0, a equação em causa deixará de ser do segundo grau, passando a ser tão-somente uma equação do primeiro grau. Também se pode dizer que é restrição necessária pelo fato de o coeficiente a figurar no denominador da fórmula que resolve a equação quadrática, o que, contudo, é fato posterior.

Importa considerar que, em se tratando de equação, deve-se falar em incógnita, não em variável.

Incógnita significa quantidade não conhecida, o que, de fato, é verdadeiro antes da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita aberta, naturalmente antes da solução. Variável, por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, lato sensu), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is).

[editar] Solução da equação quadrática: A fórmula de Bhaskara

Equações quadráticas completas resolvem-se por transformar o trinômio do segundo grau num quadrado perfeito de binômio do primeiro grau.

A resolução subseqüente conduz à chamada formula de Báskara, que é a fórmula resolvente:

Eis, passo a passo, as transformações:

Então tem-se por definição de módulo que:

• Se

• Se

Portanto,

A existirem as duas raízes, e respectivamente, a seguinte equação também é equivalente:

[editar] Outro processo de determinar os zeros duma equação do segundo grau

Outra forma de deduzir a "Fórmula Resolvente da Equação do Segundo Grau" é a seguinte:

[editar] Propriedades matemáticas

[editar] Delta

O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.

Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se , a equação terá duas raízes reais e distintas.
• Se , a equação terá uma raíz dupla.
• Se , a equação terá duas raízes complexas.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.

[editar] Forma (S,P) da equação quadrática

Outra forma de resolver equações é através da soma (S) e produto (P), dada pela fórmula:

onde:

• 

e

• 

Assim, munido dessas propriedades, podem-se avaliar as raízes em muitos (não em todos...) casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

[editar] Domínio e imagem da função

O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c será sempre uma parábola com vértice em:

[editar] Estudo do gráfico

Para o estudo do gráfico ver função quadrática.

Equações polinomiais

Linear – Quadrática – Cúbica – Quártica – Quíntica – Sêxtica

Teorema fundamental da álgebra – Teorema de Abel-Ruffini