Andragradsekvation

Från Wikipedia

Denna artikel behandlar andragradsekvationer med en obekant.

Inom matematiken är en andragradsekvation en ekvation av följande form:

$a x^2 + b x + c = 0, \quad a \ne 0.$

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket $a\neq 0$ betyder att talet a inte är lika med talet noll. Ordet andragrad- kommer av det faktum att det är talet 2 som är den högsta potensen med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen. Om den högsta potensen är andra positiva heltal får ekvationen namn därefter; så är exempelvis

$x - 1 = 0$ en förstagradsekvation;
$x 2 - 1 = 0$ en andragradsekvation;
$x 3 - 1 = 0$ en tredjegradsekvation;
$x 4 - 1 = 0$ en fjärdegradsekvation;
$x 5 - 1 = 0$ en femtegradsekvation.

Innehåll

1 Lösning av ekvationen
2 Lösningsformeln
- 2.1 Formeln
- 2.2 Härledning
3 Antal rötter
4 Exempel
5 Samband mellan rötter och koefficienter
- 5.1 Härledning
6 Se även

[redigera] Lösning av ekvationen

Att lösa ekvationen motsvarar att finna skärningspunkterna mellan parabeln $y = x 2$ och den räta linjen $y = k x + m$ , vars lutning k är lika med talet -b/a och som skär y-axeln i punkten (0,m), där talet m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

$\begin{cases}y=x^2;\\y=-\frac{b}{a} \, x - \frac{c}{a}.\end{cases}$

En andragradsekvation har en eller två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på vilka tal som är ekvationens koefficienter:

Ekvationen $x 2 + 2 x + 1 = 0$ har endast en lösning;
ekvationen $x 2 + 2 x - 1 = 0$ har två lösningar som är reella tal;
ekvationen $x 2 + 2 x + 2 = 0$ har två lösningar som är komplexa tal.

Ekvationens så kallade diskriminant avgör vilket av de tre fallen som kommer att uppstå. (Se nedan om diskriminanten till en andragradsekvation.)

[redigera] Lösningsformeln

[redigera] Formeln

Lösningsformeln för andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har följande form:

$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}.$

[redigera] Härledning

Formeln för andragradsekvationens lösningar, eller rötter, kan härledas genom att tillämpa kvadratkomplettering. Först bryts koefficienten a ut:

$ax^2+bx+c= a\left(x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a}\right), \qquad a \neq 0.$

Sedan kvadratkompletteras uttrycket inom parenteser ovan, genom att lägga till och dra ifrån $(b / 2 a) 2$ :

$x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a} = \left\{ x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a}.$

Genom att användande av kvadreringsreglerna skrivs uttrycket sedan inom krull-parenteserna {...} som kvadraten av talet $x + b / 2 a$ :

$x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2.$

Att lösa andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har nu blivit samma sak som att lösa följande andragradsekvation:

$a \left\{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\right)\right\} = 0.$

Vi vet att talet a inte är lika med noll, varför uttrycket inom krull-parenteserna {...} måste vara lika med noll:

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)^2 = 0.$

Med hjälp av konjugatregeln kan vi skriva denna andragradsekvation som två förstagradsekvationer:

$\left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right) = 0.$

Om den första faktorn är lika med noll får vi följande ekvation:

$x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.$

Om den andra faktorn är lika med noll får vi:

$x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.$

[redigera] Antal rötter

Antalet rötter som andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har, beror på ekvationens så kallade diskriminant, D, som är det uttryck som står under kvadratrot-symbolen:

$D = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}.$

[redigera] En rot

Andragradsekvationen har en rot om, och endast om, diskriminanten är lika med noll:

$D = 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a}.$

Villkoret $D = 0$ kan bara uppfyllas av en speciell sorts andragradsekvation:

$ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = 0.$

[redigera] Två reella rötter

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är reella tal om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

$D > 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{D}.$

[redigera] Två komplexa rötter

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är komplexa tal om, och endast om, diskriminanten är ett negativt tal; Vi uttrycker det negativa talet D med hjälp av absolutbelopp-funktionen: $D = - \vert D \vert.$

$D < 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{-1}\sqrt{\vert D \vert}.$

De två rötterna utgör vad som kallas ett komplext konjugat-par, vilket innebär att den ena roten är det motsvarande konjugerade komplexa talet av den andra roten.

[redigera] Exempel

[redigera] En rot

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x + 1 = 0$ har bara en rot, eftersom ekvationens diskriminant är lika med noll:

$a = 1, \, b = 2, \, c = 1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{1}{1} = 0.$

Roten är talet $- 1$ :

[redigera] Två reella rötter

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x - 1 = 0$ har två rötter som båda är reella tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett positivt tal:

$a = 1, \, b = 2, \, c = -1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} + \frac{1}{1} = 2.$

De två rötterna är $-1 + \sqrt{2}$ och $-1 - \sqrt{2}$ .

[redigera] Två komplexa rötter

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x + 2 = 0$ har två rötter som båda är komplexa tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett negativt tal:

$a = 1, \, b = 2, \, c = 2 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{2}{1} = -1.$

De två rötterna är det komplexa konjugat-paret

$-1 + i \sqrt{2} \quad och \quad -1 - i \sqrt{2},$

där vi har använt symbolen i för att beteckna den imaginära enheten, $i = \sqrt{-1}$ .

[redigera] Samband mellan rötter och koefficienter

Om ekvationen skrivs på formen $\ x^2+px+q=0$ gäller följande samband med dess lösningar, $x 1$ och $x 2$ , och dess koefficienter p och q:

$\begin{cases} p = -(x_1 + x_2), \\ q = x_1 \cdot x_2. \end{cases}$

Talet $- p / 2$ är därför det aritmetiska medelvärdet av ekvationens lösningar och talet $\sqrt{q}$ är det geometriska medelvärdet av lösningarna, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

$-\frac{p}{2} = \frac{x_1+x_2}{2} \quad och \quad \sqrt{q} = \sqrt{x_1 \cdot x_2}.$

[redigera] Härledning

Talen $x 1$ och $x 2$ är rötter till en andragradsekvation om, och endast om, ekvationen kan skrivas som en produkt av två faktorer som båda är av första ordningen:

$(x - x_1)(x - x_2).\,$

Om vi utvecklar detta uttryck ser vi sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar:

$x^2 + \underbrace{\{-(x_1+x_2)\}}_{=p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{=q}.$

[redigera] Se även

Kategorier: Ekvationer | Grundläggande algebra

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Andragradsekvation

Från Wikipedia

Innehåll

[redigera] Lösning av ekvationen

[redigera] Lösningsformeln

[redigera] Formeln

[redigera] Härledning

[redigera] Antal rötter

[redigera] En rot

[redigera] Två reella rötter

[redigera] Två komplexa rötter

[redigera] Exempel

[redigera] En rot

[redigera] Två reella rötter

[redigera] Två komplexa rötter

[redigera] Samband mellan rötter och koefficienter

[redigera] Härledning

[redigera] Se även

Views

Navigering

Sök

Andra språk