Egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az egyenlet annak a matematikai állításnak szimbólumokkal történő megfogalmazása, hogy két dolog megegyezik. Az egyenlet két oldalát egyenlőségjel választja el:

$1 + 1 = 2\,$

Az egyenleteket gyakran használják két kifejezés egyenlőségének kifejezésére, melyek egy vagy több változót tartalmaznak. Például x minden értékére igaz a következő:

$x + x = 2x\,$ .

A fenti két egyenlet jó példa az azonosságra: az egyenletek igazak attól függetlenül, hogy milyen értéket vesznek fel a változók. Azok az egyenletek, amelyek nem azonosságok, azokat analitikai vagy feltételes egyenletnek nevezzük. Például:

$x - 1 = 3\,$

A fenti egyenlet csak az $x = 4$ esetben teljesül, x minden más értékére hamis. Tehát, ha az egyenlet igaz, akkor információval szolgál x értékére vonatkozóan. Azokat az értékeket, amelyekre igaz az egyenlőség, az egyenlet megoldásainak vagy más néven gyökeinek nevezzük.

Az egyenletekben a kialakult hagyomány szerint az ábécé elejének betűi (a, b, c, ...) konstansokat (ismert értékeket), az ábécé végének betűi (x, y, z) változókat (ismeretleneket) jelölnek.

Több, egyszerre megoldandó egyenletet egyenletrendszernek nevezünk, ekkor az egyenletrendszer megoldáshalmaza az egyes egyenletek megoldáshalmazainak metszete.

[szerkesztés] Egyenlet megoldása

Egyenlet megoldása azt az eljárást jelenti, amelynek során meghatározzuk a feltételes egyenlet összes gyökét. Bonyolultabb egyenletek esetén ez diszkusszióval kezdődik. A diszkusszió azt jelenti, hogy meghatározzuk az ismeretlen azon értékeit, amelynél valamely kifejezés értelmetlen.

$2+\frac{1}{x + 1} = x$

Ennél az egyenletnél például ki kell zárni az $x = -1\,$ esetet, hiszen akkor az osztást nem lehet elvégezni.

$\sqrt{x - 1} = 2$

Itt pedig a diszkusszió az $x \geq 1$ megállapítását jelenti, hiszen a négyzetgyökvonás (valós számok körében) csak ebben az esetben végezhető el. A diszkusszió után kezdődik a valódi egyenletmegoldás. A legtöbbször ez olyan átalakítások sorozatát jelenti, amelynek a végén az egyik oldalon az ismeretlen áll, a másik oldalon pedig egy ismert érték. Kétféle átalakítás lehetséges: vagy az egyenlet egyik oldalát alakítjuk úgy, hogy annak értéke ne változzon, vagy az egyenlet mindkét oldalára alkalmazzuk ugyanazt a műveletet, és mivel az egyenlet két oldala megegyezik, a művelet után is meg kell egyezniük. Ezt akkor nevezzünk ekvivalens átalakításnak, ha az eredeti és az átalakított egyenletnek ugyanazok a gyökei. Ilyen átalakítások a következők:

Bármely kifejezés hozzáadása, kivonása
Bármely nullától különböző kifejezéssel való szorzás
Bármely nullától különböző kifejezéssel való osztás
Bármely invertálható (kölcsönösen egyértelmű) matematikai függvény alkalmazása (például: páratlan kitevőjű hatványra emelés; logaritmus; reciprok, ha az egyenlet egyik oldala sem nulla stb.)

Nullával azért nem szorozhatunk, mert akkor függetlenül az eredeti egyenlettől, a $0=0\,$ egyenletet kapjuk, amely azonosság, tehát az ismeretlenek minden értékére igaz (ami az eredetiről nem feltétlenül mondható el). Olyan függvényeket is alkalmazhatunk az egyenletre, amelyek nem kölcsönösen egyértelműek (például a négyzetre emelés), de ekkor ki kell szűrni diszkusszióval vagy ellenőrzéssel a hamis gyököket (olyan gyökök, amelyek az eredeti egyenletnek nem megoldásai, csak az átalakítotténak).