Mengde

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En matematisk mengde er en veldefinert samling objekter, og som begrep er det et av de viktigste og mest grunnleggende i matematikk. Mengdelære ble først utviklet på slutten av 1800-tallet, men er en del av grunnlaget for moderne matematikk. Mange andre matematiske størrelser blir definert ved hjelp av mengder.

Mengdelæren går tilbake til Georg Cantor. Hans definisjon av en mengde er «en samling av bestemte, forskjellige objekter, betraktet som et hele». Men en slik definisjon fører til uløselige paradokser, som for eksempel Russells paradoks.

Av den grunn lar man i aksiomatisk mengdelære være å definere begrepet mengde, men anser det som et udefinerbart grunnbegrep. Istedet brukes aksiomer til å beskrive hvilke egenskaper mengder har.

En mengde inneholder visse objekter, kalt elementer. Elementene kan i prinsippet være hva som helst, for eksempel tall, personer, biler, eller andre mengder. En mengde må være veldefinert: for ethvert objekt må det være mulig å avgjøre om objektet er med i mengden eller ikke. Hvis x er et element i mengden M, skriver man x ∈ M.

Mengder og deres egenskaper illustreres ved symboler:

En mengde kan være tom. Den tomme mengden blir betegnet med ∅. En mengde kan ikke inneholde mer enn ett eksemplar av et element.

Hvis A og B er mengder, og ethvert element i A også er et element i B, kalles A en delmengde av B, og man skriver A⊂B. Hvis B også er en delmengde av A, må begge mengdene inneholde nøyaktig de samme elementene. Per definisjon er da A lik B, og man skriver A=B.

Mengden av elementer som er felles for A og B kalles snittet av A og B og betegnes A ∩ B.

Mengden av elementer som enten er med i A eller i B (eller i begge) kalles unionen av A og B og betegnes A ∪ B. Dersom snittet av A og B er tomt (A ∩ B = ∅) kalles A og B for disjunkte.

Mengder og deres egenskaper kan også illustreres ved venn-diagram.

En mengde kan bli definert på tre forskjellige måter.

Ved opplisting av elementene: M={1,2,3}, eller M={1,2,3,…,100}.
Ved å definere en egenskap som alle elementene i mengden oppfyller: M = {x, slik at x er et positivt oddetall}
Ved en rekursiv definisjon: 0 ∈ M, og hvis x ∈ M, så er x+1 ∈ M.