מטריצה הפיכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 דוגמאות
3 תכונות
- 3.1 תנאים שקולים להפיכות
- 3.2 קבוצת המטריצות ההפיכות

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$ . המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן $\ A^{-1}$ ותיקרא המטריצה ההופכית של $\ A$ , כך שמתקיים $\ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ , כאשר $\ I_n$ היא מטריצת היחידה מסדר $\ n\times n$ , ופעולת הכפל היא כפל המטריצות הסטנדרטי.

מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מטריצות הפיכות

לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה לא סינגולרית היא מטריצת היחידה עצמה, $\ I_n$ .

דוגמה נוספת היא המטריצה:

$\ A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ מטריצה זו הפוכה לעצמה: $\ A^2 = I_2$ .

[עריכה] מטריצות לא הפיכות

מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא $\ I_n$ . גם המטריצה הבאה היא לא הפיכה:

$\ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

ניתן לראות זאת על ידי המכפלה הבאה:

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} A =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

אם הייתה מטריצה $\ B$ כך שהיה מתקיים $\ AB=I_n$ אז היה אפשר להכפיל את השוויון מימין באותה מטריצה ולקבל מצד אחד:

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} (A B) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} I_n = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

ומצד שני:

$\left( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} A \right) B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

וזו כמובן סתירה. למעשה, זוהי תכונה כללית של כפל בחוגים - אם איבר מסוים הוא מחלק אפס אז הוא לא יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות תכונה זו אפילו חזקה יותר- מטריצה היא סינגולרית אם ורק אם היא מחלקת אפס.

[עריכה] נוסחאות למציאת המטריצה ההפכית

את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \,$ $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} \ d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \, \ ,$

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:

$\ A \mbox{adj}(A) = \det A \cdot I$

כאשר $\ \mbox{adj}(A)$ היא המטריצה המצורפת ל- $\ A$ ו- $\ I$ היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה.

[עריכה] תכונות

[עריכה] תנאים שקולים להפיכות

תהא $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$ . כל התנאים הבאים שקולים, כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:

$\ A$ היא מטריצה הפיכה.
קיימת מטריצה $\ B$ כך ש $\ AB=I$ . (כלומר, $\ A$ הפיכה משמאל)
קיימת מטריצה $\ B$ כך ש $\ BA=I$ . (כלומר, $\ A$ הפיכה מימין)
$\ A$ אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות. (כלומר, לכל מטריצה $\ B\ne 0$ , מתקיים $\ AB, BA\ne 0$ )
$\ \det(A)\ne 0$ (כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).
$\ \mbox{rank}(A)=n$ (כלומר, דרגת המטריצה שווה ל- $\,n$ ).
$\ A$ שקולת שורות ל- $\ I_n$ (כלומר, ניתן להגיע מ $\ A$ אל $\ I_n$ באמצעות פעולות אלמנטריות).
למערכת המשוואות הלינאריות $\ Ax=0$ קיים רק הפתרון הטריוויאלי, כלומר $\ x=0 \Leftarrow Ax=0$ .
למערכת המשוואות הלינאריות $\ Ax=b$ קיים פתרון לכל וקטור עמודה $\,b$ מסדר $\,n$ (פתרון זה יהיה יחיד).
עמודות המטריצה הן בלתי תלויות לינארית.
שורות המטריצה הן בלתי תלויות לינארית.
0 אינו ערך עצמי של המטריצה.
ההעתקה הלינארית $\ T(x) = Ax$ מעבירה בסיס לבסיס, היא חד חד ערכית ועל.

[עריכה] קבוצת המטריצות ההפיכות

לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:

$\ GL_n (F) = \left\{ A \in F^{n \times n} | \ \ det \ A \ne 0 \right\}$

מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל. לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה. מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות $\ GL_n (F)$ או החבורה הלינארית הכללית מעל השדה F. קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות.

מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה $\ F - \left\{ 0 \right\}$ . קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד $\ n^2$ כאשר $F=\mathbb{R}$ או $F=\mathbb{C}$ . בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.