משוואה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה לינארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה לינארית היא זאת: $\ \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n=b$ . משוואה כזו נקראת "משוואה ב-n נעלמים". פתרון של המשוואה הוא כל קבוצה סדורה של מספרים $\ {a_1,a_2,...,a_n}$ כך שהצבתם במקום ה $\ x_i$ המתאימים תניב את השווין המבוקש. האיברים $\ x_i$ נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים $\ \alpha_i$ נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. כל עוד לא נאמר במפורש אחרת, הכוונה היא שהמקדמים והפתרונות הם מספרים (ממשיים או מרוכבים). בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים.

[עריכה] מערכת משוואות לינאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות לינארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות לינאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

$\ \alpha_{11} x_1+\alpha_{12} x_2+...+\alpha_{1n} x_n=b_1$

$\ \alpha_{21} x_1+\alpha_{22} x_2+...+\alpha_{2n} x_n=b_2$

$\ \alpha_{m1} x_1+\alpha_{m2} x_2+...+\alpha_{mn} x_n=b_m$

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה $\ b_1=b_2=...=b_m=0$ תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

[עריכה] הצגה מטריציונית של הבעיה

את מערכת המשוואות נוח מאוד להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה $\vec{x}$ מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר $\ m \times n$ ואילו m-ית המקדמים החופשיים $\vec{b}$ מוצגת כוקטור עמודה מממד m.

בצורה זו המערכת תיוצג ככפל מטריצות בין וקטור הנעלמים למטריצת המקדמים, ומכפלה זו שווה לוקטור המקדמים החופשיים. כלומר:

$\ A \vec{x} = \vec{b}$

או באופן מפורש

${ \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mn} \end{bmatrix} } { \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} } = { \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} }$

[עריכה] פתרונות של מערכות לינאריות

קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות לינארית, המבוססות על הצגת המערכת בעזרת מטריצות. לא לכל מערכת יש פתרון יחיד - יש מערכות עם אינסוף פתרונות, ויש מערכות שאין להן פתרון.

[עריכה] מרחב הפתרונות

למערכת משוואות הומוגנית (מערכת שכל מקדמיה החופשיים שווים לאפס) יש תמיד פתרון: וקטור האפס $\ x_1 = ... = x_n = 0$ מקיים את המשוואות (כזכור, כל ה b-ים במערכת הומוגנית שווים לאפס). פתרון זה נקרא "הפתרון הטריוויאלי".

אוסף הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית (מערכת ללא מקדמים חופשיים) הוא מרחב וקטורי, מכיוון שאם שני פתרונות $\vec{x} , \vec{y}$ פותרים מערכת הומוגנית $\ A \vec{x} = 0$ אז כל צירוף לינארי שלהם, $\ \vec{z} = c_1 \vec{x} + c_2 \vec{y}$ , פותר את אותה מערכת. אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת בסיס למרחב הפתרונות. הממד של מרחב הפתרונות שווה למספר המשתנים, פחות הדרגה של מטריצת המקדמים. הדרגה שווה למספר המשוואות הבלתי-תלויות.

משפט: מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות. מעל שדה סופי שגודלו q, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q.

[עריכה] פתרון של מערכת לא הומוגנית

במקרה של מערכת לא הומוגנית $\ A \vec{x} = \vec{b}$ , מרחב הפתרונות הוא מרחב אפיני (או ישריה), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע. במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף לינארי כלשהו של פתרונות ממרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ועוד (ה)פתרון (ה)פרטי של המערכת הלא-הומוגנית.

משפט: מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל. אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא מטריצה הפיכה (במובן המצומצם שקיימת מטריצה A^-1 מסדר $\ n \times m$ כך ש $\ A^{-1} \cdot A = I_{n}$ ) והפתרון נתון על ידי $\ \vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ .

את הפתרון הפרטי אפשר למצוא באופן שיטתי, למשל בשיטת גאוס-ז'ורדן.

[עריכה] שיטת גאוס-ז'ורדן

ערך מורחב – אלימינציית גאוס-ג'ורדן

שיטת גאוס-ז'ורדן ("שיטת האלימינציה של גאוס" או בשמה העממי "דירוג מטריצות") לפתרון מערכת משוואות לינאריות מבוססת בעצם על חיבור, חיסור והכפלה של משוואות בסקלר על מנת להגיע לצורה הקנונית (צורת המדרגות) בה פתרון המשוואות מיידי. בשיטה זו מבודדים באופן שיטתי את המשתנים רק באמצעות פעולות לינאריות על המערכת (חיבור וחיסור משוואות, כפל משוואה בסקלר) השומרות על מרחב הפתרונות של המערכת. בצורה מטריציונית פעולות אלה שקולות ל: חיבור או חיסור שורות, החלפת שורות, כפל שורה בקבוע מספרי והוספתה לשורה אחרת. המטרה הסופית היא להגיע למטריצת מדרגות (קנונית) באמצעות פעולות אלה, ממנה אפשר לקרוא ישירות את הפתרון. (דוגמה)

שיטה זאת היא מקרה פרטי של אלגוריתם בוכברגר לחישוב בסיס גרובנר.

[עריכה] נוסחת קרמר

ערך מורחב – נוסחת קרמר

נוסחת קרמר היא שיטה לחישוב ישיר של פתרונות למערכת משוואות לינאריות המשתמשת בדטרמיננטות. שיטה זו טובה רק עבור מערכות של n משוואות ב-n נעלמים (כאלה עבורן מטריצת המקדמים ריבועית) עבורן קיים פתרון יחיד. (כלומר, הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים שונה מאפס)

שיטת קרמר עובדת באופן הבא: כדי לקבל פתרון לנעלם $\ x_i$ , החלף את העמודה ה i במטריצת המקדמים בוקטור המקדמים החופשיים $\vec{b}$ (נסמנה $\ A_{\vec{b},i}$ ) ואז חלק את הדטרמיננטה של מטריצה זו בדטרמיננטה של מטריצת המקדמים המקורית. כלומר:

$\ x_i = \frac{\det ( A_{\vec{b},i} )}{\det A}$

[עריכה] משוואות דיפרנציאליות לינאריות

משוואה דיפרנציאלית לינארית היא משוואה בה הפונקציה ונגזרותיה מופיעות רק בחזקה הראשונה. כלומר, זו משוואה מהצורה

$\ y(x) + a_1 y'(x) + ... + a_n y^{(n)}(x) = b(x)$

זו הצורה הכללית ביותר במקרה של משוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר), ההכלה עבור משוואות דיפרנציאליות חלקיות ההכללה מיידית (מד"ח).

בדומה למשוואות רגילות, גם כאן אפשר לדבר על מערכת משוואות דיפרנציאליות לינאריות.

סוג זה של משוואות דיפרנציאליות רגילות ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות הוא הפשוט ביותר לפתרון, וזאת הודות לעקרון הסופרפוזיציה. עבור משוואות ממעלה ראשונה ושנייה ישנה גם נוסחה מפורשת לפתרון.