טרנספורמציה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה לינארית, טרנספורמציה לינארית או העתקה לינארית, היא העתקה (פונקציה) ממרחב וקטורי אל מרחב וקטורי, אשר מקיימת את שתי התכונות של שימור חיבור (אדיטיביות) ושימור כפל בסקלר (הומוגניות).

הגדרה: העתקה $\ T$ ממרחב וקטורי $\ V$ אל מרחב וקטורי $\ W$ (מסמנים $\ T:V \rightarrow W$ ) תקרא העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

$\ T$ משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים $\ v,u$ השייכים למרחב $\ V$ מתקיים

$\ T(v+u)=T(v)+T(u)$

$\ T$ משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור $\ v$ השייך למרחב $\ V$ , ולכל סקלר $\ \alpha$ השייך לשדה מתקיים:

$\ T(\alpha v)=\alpha T(v)$

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים $\ v,u$ ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ על התוצאה של כפל הווקטור $\ v$ בסקלר $\ \alpha$ , או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור $\ v$ ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר $\ \alpha$ - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הלינאריות.

מכאן נובעת התכונה הכללית:

$\ T \left( \sum_{k=1}^{n}{\lambda_k v_k} \right) = \sum_{k=1}^{n}{ \lambda_k {T(v_k)}}$

מושג מרכזי באלגברה לינארית הוא המטריצה, שבאמצעותה ניתן לתאר באופן יעיל העתקות לינארית; למעשה, ניתן לראות בכל מטריצה תיאור של העתקה לינארית, וכל העתקה לינארית ניתן לתאר ככפל של מטריצה בוקטור במרחב.

להעתקה לינארית ממרחב $\ V$ אל עצמו, כלומר $\ T:V \rightarrow V$ , נהוג לקרוא אופרטור לינארי.

[עריכה] דוגמאות

אם $\ A$ היא מטריצה מסדר $\ m \times n$ , אז $\ A$ מגדירה העתקה לינארית מ- $\mathbb R ^n$ ל- $\mathbb R ^m$ כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב $\mathbb R ^n$ על ידי כפל מטריצות מימין. זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה לינארית בין מרחבים מממד סופי בדרך זו.

טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את איבר האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות לינאריות.

טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות לינאריות. לדוגמה, ב- $\mathbb R ^2$ , הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה $\,x$ היא טרנספורמצייה לינארית.

גזירה היא העתקה לינארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).

[עריכה] מרחב ההעתקות הלינאריות

אוסף כל ההעתקות הלינאריות מ- $\mathbb R ^n$ ל- $\mathbb R ^m$ מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד $\ m \cdot n$ . על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות לינאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם $\ U,V$ הן העתקות לינאריות מ $\mathbb R ^n$ ל $\mathbb R ^m$ , ו $\ \alpha$ הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך :

$\ (T+U)(v) = T(v) +U(v)$
$(\alpha T)(v) = \alpha \cdot T(v)$

[עריכה] גרעין ותמונה של העתקה לינארית

תהי טרנספורמציה לינארית $\ T:V \rightarrow W$ .

הגרעין של $\ T$ , המסומן $\ \ker(T)$ (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב $\ V$ שהטרנספורמציה מעבירה לוקטור ה- $\ 0$ של $\ W$ . כלומר: