Aplicación lineal

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Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Codominio.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo $K$ , y $T$ una función de $V$ en $W$ . $T$ es una transformación lineal si para todo par de vectores $u$ y $v$ pertenecientes a $V$ y para todo escalar $k$ perteneciente a $K$ , se satisface que:

$T(u+v) = T(u) + T(v) \,$
$T(ku) = kT(u) \,$ donde k es un escalar.

La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

Véase también: Operador (mecánica cuántica)

Tabla de contenidos

1 Algunas transformaciones lineales
2 Propiedades de las transformaciones lineales
3 Núcleo (kernel) e imagen
4 Transformación Lineal Singular y No Singular
5 Teorema de las dimensiones
6 Teorema fundamental de las transformaciones lineales
7 Clasificación de las transformaciones lineales
8 Matriz asociada a una transformación lineal
9 Función lineal como propiedad de los sistemas generales
10 Véase también

[editar] Algunas transformaciones lineales

(Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio)

[editar] Transformación lineal nula

$T:V \rarr W \quad/\quad T(x) = O_W$ $\forall x \in V$

[editar] Transformación lineal identidad

$T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x$ $\forall x \in V$

[editar] Homotecias

$T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx$ con $k \in \mathbb{K}$

Si |k| > 1 se denominan dilataciones

Si |k| < 1 se denominan contracciones

Ver artículo sobre Homotecias

[editar] Propiedades de las transformaciones lineales

Sean $\mathbb{V}$ y $\mathbb{W}$ espacios vectoriales sobre $\mathbb{K}$ (donde $\mathbb{K}$ representa el cuerpo) se satisface que:

$T:V \rarr W / T(0_V)= 0_W$
$\forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(-X)=-T(X)$
$\forall X \in \mathbb{V}, T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(X-Y)=T(X)-T(Y)$
$\forall a, b \in \real; \forall X \in \mathbb{V},\forall Y \in \mathbb{V} \Rightarrow$ $T:\mathbb{V} \rarr \mathbb{W} / T(aX+bY)=a\,T(X)+bT(Y)\,$

[editar] Núcleo (kernel) e imagen

Si $T: V \rarr W$ es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

$\operatorname{ker}(T)=\{\,x\in V:T(x)=0_W\,\}$

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

$0_V \in Ker(T)$ dado que $\operatorname {T}(0_V) = 0_W$
Dados $u , v \in ker(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in ker(T)$
Dados $u \in ker(T) \and k \in \real : T(ku) = k T(u) \and T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in ker(T)$

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(ker(T))

$\operatorname{Im}(T) = \left\{y/y \in W \and \exists x \in V / (x,y) \in T\right\}$

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))

[editar] Transformación Lineal Singular y No Singular

Sean $\operatorname{V}$ y $\operatorname{W}$ espacios vectoriales sobre el mismo campo $\operatorname{K}$ y $\operatorname{T}$ una transformación lineal de $\operatorname{V}$ en $\operatorname{W}$ . Entonces, $\operatorname{T}$ es no singular si:

$\operatorname{N}(T)$ X $\operatorname{ker}(T)= \{0_v\}$

En caso contrario $\operatorname{T}$ es singular.

[editar] Teorema de las dimensiones

dim(ker(V)) + dim(Im(V)) = dim(V)

Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, $V / k e r (T)$ y $I m (T)$ (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de $V / k e r (T)$ es: $d i m (V / k e r (T)) = d i m (V) - d i m (k e r (T))$ Pero como $V / k e r (T)$ y $I m (T)$ son isomorfos, entonces $d i m (k e r (T)) = d i m (I m (T))$ reemplazando, queda: $d i m (I m (T)) = d i m (V) - d i m (k e r (T)), d i m (I m (T)) + d i m (k e r (T)) = d i m (V)$

[editar] Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v₁,v₂,v₃,...v_n} base de V y C = {w₁, w₂, w₃,...w_n} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal. $T: V \rarr W / T(V_i) = W_i$ Para todo $i \in \mathbb {Z}$

[editar] Clasificación de las transformaciones lineales

Monomorfismo: Si $T: V \rarr W$ es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. $\operatorname{ker}(T) = {0_V}$
Epimorfismo: Si $T: V \rarr W$ es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si $T: V \rarr W$ es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

[editar] Matriz asociada a una transformación lineal

Sea $T: \mathbb{R}^m \rarr \mathbb{R}^n$ una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal $A \in \mathbb{K}^{mxn} / T(x) = A . x$

Desarrollo:

Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea $\{v_1, \cdots, v_n\}$ una base de V. Entonces todo vector v en V está determinado de manera única por los coefientes $c_1, \cdots, c_n$ en : $c_1 v_1+\cdots+c_n v_n.$ Si f : V → W es una transformación lineal,

$f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n),$

Lo cual implica que está completamente determinada por los valores $f(v_1),\cdots,f(v_n).$

Ahora $\{w_1, \dots, w_m\}$ es una base de W. Se puede representar cada $f (v j)$ como

$f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m.$

Entonces la función f está enteramente determinada por los valores $a i, j .$ . Si se trata de transformaciones de $\mathbb{R}^m \rarr \mathbb{R}^n$ generalmente se usa la base canónica.

Si se cambian las bases, entonces la matriz será distinta, pero representará la misma transformación lineal.

[editar] Función lineal como propiedad de los sistemas generales

Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:

Si aplicamos una entrada u₁(x) obtenemos una salida particular y₁(x)
Si aplicamos una entrada u₂(x) obtenemos una salida particular y₂(x)
Entonces si aplicamos u₃(x)=c₁u₁(x)+c₂u₂(x) obtenemos una salida y₃(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) para todos los pares de entradas u₁(x) y u₂(x) y para todos los pares de constantes c₁ y c₂.

Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales..

[editar] Véase también

$Ver el portal sobre Aplicación lineal$ Portal:Matemática Contenido relacionado con Matemática.
Álgebra lineal
No linealidad

Categoría: Álgebra lineal

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