நேரியல் கோப்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

கணிதத்திலும், கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்பு, நேரியல் உருமாற்றம், நேரியற்செயலி, நேரியற்செயல்முறை(linear map, transformation, operator) என்ற கருத்து அடிப்படையானது. பல அறிவியல் பயன்பாடுகளிலும், ஏறத்தாழ எல்லா சமுதாயவியல், மருத்துவவியல், உயிரிய-தொழில்நுட்பவியல் பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்புக்குரிய சூழ்நிலை தானாக இல்லாவிட்டாலும், எவ்வளவு தூரம் நேரியல் பண்புகளுடையதாக அச்சூழ்நிலையை மாற்றமுடியும் என்றே ஆராய்ச்சியாளர்கள் முயல்வார்கள். நேரியல் அல்லாத (non-linear) பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் சூழ்நிலைக்குத் தோராயப் படுத்துவதே முதல் முயற்சி. ஆக, நேரியல் அல்லாத பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் இயற்கணிதச் செயல்பாடுகளே அடிப்படையில் தேவைப்படுவதால், நேரியல் கோப்பு என்பது முழு கணித உலகத்திலும் இன்றியமையாததாகிறது.

பொருளடக்கம்

1 வரையறை
2 வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள்
3 குறிப்பிடத்தக்க இரு நேரியல்கோப்புகள்
4 எடுத்துக்காட்டுகள்
5 நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு)
6 அமைவியங்கள்

[தொகு] வரையறை

U, V இரு திசையன் வெளிகள், இரண்டுக்கும் அளவெண் களங்கள் ஒன்றே என்று கொள்வோம்.

கீழ்க்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைக்குட்பட்டால், $T: U \mapsto V$ ஒரு நேரியல் கோப்பு (உருமாற்றம், செயல்முறை) எனப்படும்:

(நே.கோ.1):

u 1, u 2

இரண்டும்

U

இல் எதுவாக இருந்தாலும்

T (u 1 + u 2) = T (u 1) + T (u 2)

;

(நே.கோ.2):

U

இலுள்ள எல்லா

u

க்கும், எல்லா அளவெண்கள்

α

க்கும்,

T (α u) = α T (u).

இங்கு, T ஐப்பற்றின அரையில், U அரசு வெளி (Domain Space) என்றும், V பிம்ப வெளி (Image space) என்றும் சொல்லப்படும்.

அளவெண் களம் $\mathbf{F}$ ஐக்குறிப்பிட்டுச்சொல்லவேண்டியிருந்தால், $\mathbf{F}-$ நேரியல் (கோப்பு) என்று சொல்வோம்.

[தொகு] வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள்

$T(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V$

$T(-u) = -T(u), u \in U.$

$T (α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n) = α 1 T (u 1) + α 2 T (u 2) + ... + α n T (u n),$ . இங்கு $α$ க்களெல்லாம் அளவெண்கள், எல்லா $u$ க்களும் $U$ விலுள்ள உறுப்புகள்.

$U$ வின் ஏதாவதொரு அடுக்களத்தின் உறுப்புகளை $T$ எங்கு எடுத்துச்செல்கிறதோ அதைப்பொருத்து முழு $T$ இன் பண்புகளும் தீர்மனிக்கப்படுகின்றன.

[தொகு] குறிப்பிடத்தக்க இரு நேரியல்கோப்புகள்

U

விலுள்ள ஒவ்வொரு

u

க்கும், $T(u) = \mathbf{0}_U$ என்று வரையறுக்கப்பட்டால் $T: U \mapsto V$ சூனியக்கோப்பு எனப்பெயர் பெறும்.

U

விலுள்ள ஒவ்வொரு

u

க்கும்,

T (u) = u

என்று வரையறுக்கப்பட்டால் $T: U \mapsto U$ முற்றொருமைக்கோப்பு எனப்பெயர் பெறும். அதற்குக்குறியீடு

I U

அதனால்

U

விலுள்ள ஒவ்வொரு

u

க்கும்,

I U (u) = u

[தொகு] எடுத்துக்காட்டுகள்

கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள்:

$T: V_3 \mapsto V_3$ . வரையறை: $T (x, y, z) = (x, y, - z).$ இது எல்லா புள்ளிகளையும் xy-தளத்தில் பிரதிபலிக்கிறது.

$T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.$ வரையறை: $\mathcal{P}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $p$ க்கும் $T (p) = p (0).$

$T: \mathcal{P}(a,b) \mapsto \mathcal{P}(a,b).$ வரையறை: $(a, b)$ இலுள்ள எல்லா $x$ க்கும்,

T (p)(x) = x p (x)

$T: V_2 \mapsto V_2$ . வரையறை: $T (x, y) = (0, y - x).$

$T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.$ வரையறை: $\mathcal{P}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $p$ க்கும் $T (p) = p'$ .

இங்கு

p'

என்பது

p

இன் வகைக்கெழு. இது வகையீட்டு (நேரியல்) கோப்பு எனப்படும்.

$D: \mathcal{C}^{(1)}(a,b) \mapsto \mathcal{C}(a,b)$ . வரையறை: $D (f) = f'. f'$ என்பது $f$ இன் வகைக்கெழு. $D$ க்கு வகையீட்டு செயல்முறை (Differential Operator) எனப்பெயர்.

$\mathcal{I}: \mathcal{C}(a,b) \mapsto \mathbf{R}$ வரையறை: $\mathcal{I}(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ . $\mathcal{I}$ க்கு தொகையீட்டு செயல்முறை (Integral Operator) எனப்பெயர்.

$f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.$ வரையறை: $f(z) = \overline{z}$ . இது ஒரு $\mathbf{R}$ -நேரியல் கோப்பு.

$L_A : \mathbf{R}^n \mapsto \mathbf{R}^m.$ இங்கு $A$ மெய்யெண்களாலான ஒரு $m \times n$ அணி. வரையறை: $\mathbf{R}^n$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $u$ க்கும் $L A (u) = A u .$

(

A u

என்பது அணிப்பெருக்கல்).

கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள் அல்ல:

$u_0 \neq 0$ ஐ $U$ இல் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனாகக்கொள். $T: U \mapsto U$ : வரையறை: $U$ விலுள்ள ஒவ்வொரு $x$ க்கும்

T (x) = x + u 0

. இதற்கு நகர்த்தல் கோப்பு (Translation operator)எனப்பெயர்.

$T: V_2 \mapsto V_2$ . வரையறை: $T (x, y) = (x 2, y 2)$

$f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.$ வரையறை: $f(z) = \overline{z}$ . இங்கு அளவெண்களத்தை $\mathbf{C}$ ஆக எடுத்துக்கொண்டால் , இது ஒரு $\mathbf{C}$ -நேரியல் கோப்பு அல்ல. ஏனென்றால் நே. கோ.2 தவறுகிறது.

[தொகு] நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு)

$T:U \mapsto V, U, V,$ திசையன்வெளிகள்,

T

நேரியல் கோப்பு.

$R(T) = \{T(u): u\in U\},$ அ-து,

T

இன் எல்லா பிம்பங்களும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு

T

இன் வீச்சு (Range of T) என்று பெயர்.

$N(T) = \{u\in U: T(u) = \mathbf{0}_V\},$ அ-து,

V

இலுள்ள சூனியத் திசையனுக்கு

T

யால் எடுத்துச் செல்லப்படும் எல்லா

U

-உறுப்புகளும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு

T

இன் சுழிவு (Null space of T / kernel of T) அல்லது உட்கரு என்று பெயர்.

வீச்சு, சுழிவு இரண்டுமே சம்பந்தப்பட்ட திசையன் வெளிகளின் உள்வெளிகள்.

[தொகு] அமைவியங்கள்

இரண்டு கணித அமைப்புகளுக்கிடையே அவைகளுக்குள்ள ஏதோ ஒரு அமைப்பை சிதறாமல் காக்கும் ஒரு கோப்புக்குப் பொதுப்பெயர் அமைவியம்.அது எந்த அமைப்பைக்காக்கிறதோ அதைப்பொருத்து அதனுடைய பெயரும் மாறுபடும்.

$T:U \mapsto V, U, V,$ திசையன்வெளிகள்,

T

நேரியல் கோப்பு. $U = \mathbf{R}^n, V = \mathbf{R}^m$ ஆகவும் இருந்தால்,

T

க்கு ஒரு $m\times n$ அணிக்குறிகாட்டி (Matrix representation) இருக்கும். அவ்வணியை

M

என்று குறிப்போம்.

வெளி அமைவியம் (epimorphism): T ஒரு முழுக்கோப்பானால் (onto map, surjective map), அ-து, R(T) = V ஆக இருந்தால், T ஒரு வெளி அமைவியம் எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்களின் அளாவல் V ஆக இருக்கும்.

ஒன்றமைவியம் (monomorphism): T ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடைய கோப்பாக (one-one map, injective map)இருந்தால், அ-து, $u \leftrightarrow T(u),$ $U$ க்கும் $R (T)$ க்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபை ஏற்படுத்தினால், $T$ ஒரு ஒன்றமைவியம் எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்கள் நேரியல் சார்பற்றதாக இருக்கும்.

சம அமைவியம் (isomorphism): $T$ ஒரு வெளி அமைவியமாகவும், ஒன்றமைவியமாகவும் இருந்தால் அது சம அமைவியம் எனப்படும். இந்த பட்சத்தில் $M$ இனுடைய நிரல்கள் $V$ க்கு ஒரு அடுக்களமாக அமையும்.

உள் அமைவியம் (endomorphism): $T: U \mapsto U$ ; அ-து, அரசு வெளியும் பிம்ப வெளியும் ஒன்றாகவே இருந்தால், $T$ ஒரு உள் அமைவியம் எனப்படும். இப்பொழுது M ஒரு சதுர அணியாக இருக்கும்.

தன்னமைவியம் (automorphism): $T: U \mapsto U$ , அ-து, $T$ ஒரு உள் அமைவியம்; மேலும் அது ஒரு சம அமைவியமாகவும் இருந்தால், $T$ ஒரு தன்னமைவியம் எனப்படும். இந்த பட்சத்தில் M ஒரு வழுவிலா அணி (non-singular matrix) யாக இருக்கும்.

பகுப்புகள்: நேரியல் இயற்கணிதம் | சார்புப் பகுவியல்

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

நேரியல் கோப்பு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

பொருளடக்கம்

[தொகு] வரையறை

[தொகு] வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள்

[தொகு] குறிப்பிடத்தக்க இரு நேரியல்கோப்புகள்

[தொகு] எடுத்துக்காட்டுகள்

[தொகு] நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு)

[தொகு] அமைவியங்கள்

Views

வழிசெலுத்தல்

தேடுக

ஏனைய மொழிகள்