Inverzní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Obsah

1 Značení
2 Vlastnosti
3 Výpočet inverzní matice
4 Příklad
5 Výpočet prvků inverzní matice přímo
6 Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic
7 Související články
8 Externí odkazy

[editovat] Značení

Inverzní matici k matici A značíme A^-1.

[editovat] Vlastnosti

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},$

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Pro obdelníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

[editovat] Výpočet inverzní matice

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:

Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
- záměna řádků
- vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
- přičtení jednoho řádku k jinému
Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

[editovat] Příklad

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
$\left.\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & -1 & 1\end{pmatrix}$
$\left.\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\-1 & 1 & 1\\-1 & -1 & 2\end{pmatrix}$
$\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1\\-1 & -1 & 2\end{pmatrix}$
$\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

[editovat] Výpočet prvků inverzní matice přímo

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice $A - 1$ má prvky $a_{i,j}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot |A_{j,i}|}{|A|}$ , kde $| A j, i |$ je subdeterminant získaný z matice $A$ vynecháním $j$ -tého řádku a $i$ -tého sloupce, $| A |$ je determinant matice $A$ .