Invertálható mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A lineáris algebrában egy n x n-es (négyzetes) A mátrix invertálható vagy nem szinguláris, ha létezik egy olyan n×n -es B mátrix, melyre igaz:

,

ahol I_n az n×n-es egységmátrixot jelöli és a szorzás a szokásos mátrixszorzás. Ebben az esetben a B-t egyértelműen meghatározza az A mátrix, és A inverzének hívják és A ^{− 1}-nel jelölik . Igazolható, hogy ha az A és B négyzetes mátrixokra AB = I, akkor BA = I is teljesül.

A nem invertálható négyzetes mátrixot szingulárisnak vagy degeneráltnak nevezik. Alapszabályként kimondható, hogy majdnem minden négyzetes mátrix invertálható. A valós számtest esetében ez a következőképpen tehető precízzé: az n x n-es szinguláris mátrixok halmaza, mint részhalmaza, nullmértékű halmaz (a Lebesgue-mérték szerint). Ez azért igaz, mert a szinguláris mátrixok a determináns, egy n²-változós polinom gyökrendszerei.

Ez azt jelenti, hogy ha véletlenszerűen kiválasztunk egy valós elemű négyzetes mátrixot, annak valószinűsége, hogy a mátrix szinguláris, nulla. A gyakorlatban azonban bukkanhatunk nem invertálható mátrixokra. Numerikus módszerek használata esetén azok a mátrixok is problematikusak lehetnek, melyek invertálhatók, de közel esnek a szinguláris mátrixhoz, ezekre a mátrixokra mondják, hogy rosszul kondícionált mátrixok.

A mátrix inverzió az művelet neve.

[szerkesztés] Invertálható mátrixok tulajdonságai

Legyen A egy n x n-es mátrix a K test felett. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

• A invertálható.
• A sor-ekvivalens az I_n n-szer n-es egységmátrixhoz.
• A-nak n pivot eleme van.
• A determinánsa ≠ 0.
• A rangja = n.
• Az Ax = 0 egyenletnek csak a triviális x = 0 megoldása van (azaz Null A = {0})
• Minden -re az Ax = b egyenletnek pontosan egy megoldása van.
• A oszlopvektorai lineárisan függetlenek.
• A oszlopvektorai kifeszítik Kⁿ-t.
• A oszlopvektorai Kⁿ bázisát alkotják.
• Az lineáris leképezés bijekció Kⁿ-ről Kⁿ-re.
• Van olyan B n-szer n-es mátrix, amire AB = I_n teljesül.
• Az A mátrix A^T transzponáltja invertálható mátrix.
• A^TA invertálható mátrix.
• 0 nem sajátértéke A-nak.

Általában, egy kommutatív gyűrű feletti négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa a gyűrű egysége.

Invertálható mátrix inverze maga is invertálható és

.

Egy A invertálható mátrix λ nemnulla skalárral vett szorzata szintén invertálható és inverze a skalár inverzének és a mátrix inverzének szorzata:

.

Ha az A és B mátrixok invertálhatók, akkor AB szorzatuk is és

(tehát inverzképzésnél a tényezők sorrendje fordított). Ennek következtében az invertálható n-szer n-es mátrixok csoportot alkotnak, a Gl(n) csoportot.