Test (algebra)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az algebrában test egy olyan F = (T, + , *) kétműveletes algebrai struktúrát jelöl, ahol T kommutatív csoportot alkot a + ("összeadás") műveletre nézve, a * ("szorzás") asszociatív, minden nem nulla elemnek van inverze a * műveletre nézve, továbbá a * művelet disztributív a + műveletre. Az a tény, hogy a szorzásra minden nem nulla elemnek van inverze, maga után vonja azt, hogy testben minden nem nulla elem egység, vagyis minden számnak osztója. Ez egyszerűen látható, hiszen legyen tetszőleges A és B elem a testből, A nem nulla. Ekkor A|B, mivel található olyan C szintén a testből, hogy A*C=B, ez a C nem más mint: , vagy pontosabban kifejezve: B * A ^{− 1}, vagyis B és A multiplikatív inverzének (ami lévén testbeli elem, létezik) szorzata.

A test iménti definíciójában tehát nem követeltük meg, hogy * kommutatív művelet legyen. Ezzel kapcsolatban kívánkozik néhány terminológiai megjegyzés:

• Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy * nem kommutatív (azaz van a és b elem T-ben, hogy a*b≠b*a ) akkor ferdetestről beszélünk.
• Ha *-ra teljesül a kommutatív tulajdonság, akkor a kommutatív vagy Wedderburn-test kifejezést használjuk.
• Sokszor test alatt kommutatív testet értenek.
• Szokás néha a fent definiált kétműveletes struktúrát nevezni ferdetestnek. (Tehát ahol a kommutativitás nincs megkövetelve.) Ha a kommutatív tulajdonságot is felteszik, akkor kommutatív testről beszélnek. Ekkor például a valós számok köre olyan ferdetest, mely egyben kommutatív test is, míg a kvaterniók nem alkotnak kommutatív testet. Ebben az esetben a minden jelző nélküli "test" kifejezést nem használják.

E cikkben testen kommutatív szorzásműveletű testet értjük, nem-kommutatív testre a ferdetest megnevezést alkalmazzuk. (A továbbiakban tehát a valós számok testet alkotnak, de nem ferdetestet, míg a kvaterniók nem alkotnak testet, csak ferdetestet.)

Tartalomjegyzék 1 Példák 1.1 Test 1.2 Ferdetest 2 A testaxiómák és egyszerű következményeik 3 Fontosabb azonosságok testekben 4 Karakterisztika 5 Résztest, testbővítés 6 Prímtest 7 Véges testek

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Test

• a racionális, a valós és a komplex számok ()
• a prímek maradékosztályai (: csoport kibővítve a szorzás művelettel)
• az algebrai számok ()
• a racionális törtfüggvények

• a racionális számok kibővítve -vel

[szerkesztés] Ferdetest

• a kvaterniók

[szerkesztés] A testaxiómák és egyszerű következményeik

A testaxiómák részletezve:

A + és * művelet is asszociatív 

minden a, b, c ∈ F-re: a + (b + c) = (a + b) + c és a * (b * c) = (a * b) * c.

A + és * művelet is kommutatív 

minden a, b ∈ F-re: a + b = b + a és a * b = b * a.

A * művelet disztributív a + műveletre nézve 

minden a, b, c ∈ F-re: a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

Létezik nullelem (additív neutrális elem), azaz olyan 0 ∈ F, hogy minden a ∈ F -re, a + 0 = a.

Létezik egységelem (multiplikatív neutrális elem), azaz olyan 1 ∈ F, melyre 1 ≠ 0, és minden a ∈ F-re a * 1 = a.

Léteznek additív inverz elemek vagy ellentett elemek 

Minden a ∈ F-re olyan -a ∈ F, hogy a + (-a) = 0.

Léteznek multiplikatív inverz elemek vagy reciprokok 

Minden a ≠ 0 -hoz F-ben létezik olyan a^-1 jelű elem F-ben, hogy a * a^-1 = 1.

Általában ki szokták kötni, hogy test legalább két elemet tartalmazzon; ezt jelenleg a 0 ≠ 1 követelmény biztosítja. Tehát egyelemű (és üres) test nincs.

Nem nehéz belátni, hogy nullelem és egységelem pontosan egy van, azonkívül minden elemnek pontosan egy ellentettje és pontosan egy reciproka van.

[szerkesztés] Fontosabb azonosságok testekben

• (a*b)^-1 = b^-1 * a^-1 = a^-1 * b^-1

ha a és b nem nulla;

• -a = (-1) * a
• sőt -(a * b) = (-a) * b = a * (-b)
• továbbá a * 0 = 0;

Testben érvényesek az alapműveletekkel kapcsolatban a racionális vagy a valós számok között megszokott azonosságok (például a törtekkel való műveletek elvégzése), de például semmi akadálya nincsen, hogy egy testben fennálljon az 1+1=0 egyenlőség.

[szerkesztés] Karakterisztika

Ha van olyan n természetes szám, hogy a test valamelyik elemét n-szer önmagához adva 0-t kapunk, akkor n-t a test karakterisztikájának nevezzük; gyakori jelölése char F. Ez könnyen láthatóan ugyanaz minden elemre és prímszám. Ha ilyen szám nincs, akkor azt mondjuk hogy a test végtelenkarakterisztikájú vagy azt, hogy nullkarakterisztikájú.

[szerkesztés] Résztest, testbővítés

Ha az elemek egy T' részhalmaza maga is testet alkot az F-beli műveletekkel (ebbe beleértjük, hogy tartalmazza a testbeli 0-t és az 1-et), akkor beszélhetünk a T' elemei alkotta K résztestről; ezt például K ⊂ F-fel jelölhetjük. Gyakran lényeglátóbb az a nézőpont, mikor a nagyobb testet a kisebb bővítésének mondjuk; ennek gyakori jelölése F|K vagy F/K.

Egy F test tetszőleges számú részteste is résztest, így definiálható a T egy A részhalmazának generált részteste. Ez jellemezhető „kívülről”: az összes A-t tartalmazó résztest metszete; s „belülről”: A-ból, a 0-ból és az 1-ből a testműveletekkel megkapható összes F-beli elem által alkotott részhalmaz, ami történetesen résztest.

Test és résztestje karakterisztikája egyenlő. A bővebb F test a K fölött lineáris teret (sőt, algebrát) alkot a testműveletekkel; a testbővítés fokának nevezzük e vektortér dimenzióját.

A résztestek és testbővítések témájával a nevezetes Galois-elmélet foglalkozik.

[szerkesztés] Prímtest

A fentiek alapján bármely testnek van minimális részteste, ezt nevezzük a test prímtestének. Ezt izomorfizmustól eltekintve egyértelműen meghatározza a test karakterisztikája: véges p karakterisztika esetén a prímtest az F_p p-elemű véges testtel izomorf, 0 karakterisztika esetén pedig a racionális számok testével. Tehát -nál szűkebb végtelen test nincs.

[szerkesztés] Véges testek

Minden véges ferdetest test (Wedderburn tétele).

Könnyen elérhető példát ad a véges testekre a modulo p maradékosztályok rendszere, ahol p prímszám: a szorzás invertálhatóságát kivéve minden testaxióma következik az egész számok és a kongruencia megfelelő tulajdonságából, azt pedig elemi számelmélettel meg lehet mutatni. Ezeket a testeket F_p-vel, vagy néha GF(p)-vel jelöljük (Galois Field Évariste Galois tiszteletére). Összetett szám esetén viszont testhez nem, csak gyűrűhöz jutunk ezzel a módszerrel.

A test a prímtestje fölött lineáris tér, ezért véges testnek csak prímhatvány lehet az elemszáma (vagyis olyan q szám, hogy q = pⁿ, ahol p prímszám, n pedig pozitív egész). Ilyen q-k esetén viszont van – izomorfizmustól eltekintve egyetlen – q elemű test; mégpedig az x^q − x polinom felbontási teste. E test multiplikatív csoportja ciklikus. A q elemű testet is F_q-val, vagy GF(q)-val jelöljük; ezek igen fontos szerepet töltenek be a számítástechnikai alkalmazásokban, különösen a kódelméletben.