Algebrai szám
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A matematikában az algebrai szám olyan valós vagy komplex szám, amely gyöke egy racionális együtthatós nem csupa nulla polinomnak. Ezzel ekvivalens, ha racionális helyett egészek az együtthatók.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Példák
A racionális számok algebrai számok. Egy irracionális szám is lehet algebrai, ha nem algebrai, akkor transzcendens szám. Például a 
és ![r\sqrt[n]{3}](../../../../math/f/8/0/f80393b2443b9ee21980ed96cad03c48.png)
(ahol n pozitív egész, és r racionális) is algebrai számok, mert az x2 − 2 = 0, illetve rnxn − 3 = 0 gyökei. A képzetes egység i is algebrai, mivel kielégíti az x2 + 1 = 0 egyenletet. A π és az e nem algebrai számok.
[szerkesztés] Tulajdonságok
[szerkesztés] Minimálpolinom
Minden algebrai számhoz egyértelműen található olyan minimális fokszámú polinom, melynek a szám gyöke, és a főegyüttható 1:
,
ahol n pozitív egész és ai-k racionálisak. Ezt a polinomot hívják minimálpolinomnak. Az algebrai szám foka minimálpolinomjának fokszáma (n). Az első fokú algebrai számok a racionális számok.
[szerkesztés] Számosság
Az algebrai számok számossága megszámlálhatóan végtelen, így mivel a valós számok számossága kontinuum (Cantor) majdnem minden valós szám transzcendens.
[szerkesztés] Az algebrai számok teste
Az algebrai számok összege, különbsége, szorzata, és hányadosa (sőt racionális kitevőjű hatványai) is algebrai, így testet alkotnak (jele 
vagy ritkábban 
). Megmutatható, hogy az algebrai együtthatós polinomok gyökei is algebrai számok.
A racionális számok teste az algebrai számok részteste (
). Végtelen sok részteste van az algebrai számoknak, mely a racionális számokénál bővebb (
). Ezekkel a résztestekkel Galois-elmélet foglalkozik.
A racionális számokból az alapműveletek (+, –, *, /) és n-edik gyökvonás (n pozitív egész) véges sokszori alkalmazásával kapható számok algebraiak. A Galois-elmélet egyik eredménye hogy vannak olyan algebrai számok is, amelyek nem állnak elő ilyen módon, és ezen számok foka legalább 5. Például az x5 − x − 1 = 0 egyenlet egyetlen valós gyöke.
[szerkesztés] Algebrai egészek
Bővebben: algebrai egész számAz algebrai egészek olyan algebrai számok, amelyek minimálpolinomja egész együtthatós. Az algebrai egész elnevezés azzal is indokolható, hogy ha egy algebrai egész racionális, akkor egész szám is. Algebrai egészek összege, szorzata is algebrai egész, de hányadosuk nem feltétlenül az, így gyűrűt alkotnak (mely részgyűrűje az algebrai számok gyűrűjének).
