חבורה חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה $\ X$ אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו, כל איבר הוא מלה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים $\ x, x^{-1}$ עבור $\ x\in X$ , ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה $\ xx^{-1}$ או $\ x^{-1}x$ . הכפל בחבורה מוגדר על ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- $\ <X>$ . ראו גם מונואיד חופשי.

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על ידי מלה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעית המלה ובעית הצמידות.

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות $\ <X>$ ו- $\ <Y>$ איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- $\ \mathbb{F}_n$ . מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית $\ F$ מסמנים ב- $\ rank(F)$ . כך למשל $\ rank(\mathbb{F}_n)=n$ .

המשפט הראשון בתחום שנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט שרייר (Schreier), הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה תמיד גדולה מזו של החבורה. אם $\ H \leq F$ הן חבורות חופשיות, אז היחס $\ \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}$ שווה לאינדקס של H ב- F.

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה $\ G$ ופונקציה $\ f:X\rightarrow G$ קיים הומומורפיזם יחיד $\ \psi :F \rightarrow G$ המקיים $\psi\circ\phi=f$ , כאשר $\ \phi: X \rightarrow F$ הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם $\ <X>\rightarrow G$ , ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם $\ G \cong F/N$ כאשר $\ F=<X>$ חופשית, אז $\ N=<R>$ חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G. המנה $\ <X>/<R>$ מסומנת ב- $\ <X|R>$ ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).