Szabad csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A matematikában a G csoport szabad csoport, ha létezik egy olyan S részhalmaza G-nek, hogy G minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a st^-1 = su^-1ut^-1 jellegű „bővítésektől” eltekintünk.)

Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a szabad Abel-csoport.

[szerkesztés] Konstrukció

Az $F S$ szabad csoport S generátorhalmazzal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: Nevezzük szónak az S elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha S={a, b, c}, akkor az alábbi például egy szó:

$a b c^{-1} c a^{-1} c\,$

Ha egy $s \in S$ elem közvetlenül az inverze mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az s, s^-1 pár elhagyásával:

$a b c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b \, a^{-1} c$

Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor redukáltnak nevezik. Az F_S szabad csoport ekkor definiálható az összes S-ből származtatott redukált szó összességeként.

Ennek pontos bevezetése:
Tekintsük az S-ből álló direktszorzatok unióját a következő módon: $\bigcup_{i=1}^n \left( \times_{j=1}^i \left( S \right) \right)$ , így megkapjuk az összes legfeljebb n hosszú szót. Értelemszerűen a szavak hossza a direktszorzat komponenseinek száma legyen (pontos definíciója rekurzívan történik), valamint kiegészíthetjük az ún. üres szóval. Az "egymás után írás" műveletét úgy definiálhatjuk, hogy a direkt szorzatban hozzávesszük a második szó komponenseit, az üres szó esetén nem történik változás.

Ha kommutativitást is szeretnénk szabad csoportunkban, akkor két szó egyenlősége definiálható úgy is, hogy redukált szavaik csak a betűk sorrendjében különböznek. Természetesen ez is definiálható pontosan.

[szerkesztés] Elemi tulajdonságok

A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:

Minden G csoport valamely F(S) szabad csoport homomorf képe, ahol S a generátorhalmaz. A természetes $f:F(S) \to G$ leképezés epimorfizmus. Ebből következik az állítás.
Ha S több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor F(S) nem kommutatív, azaz nem Abel-csoport.
Két F(S), F(T) szabad csoport akkor és csak akkor izomorf, ha S és T számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport rangjának is. Így tehát minden k számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.