自由群

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由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

在數學中，一個群 $G$ 被稱作自由群，如果存在 $G$ 的子集 $S$ 使得 $G$ 的任何元素都能唯一地表成由 $S$ 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 $s t - 1 = s u - 1 u t - 1$ 之類）；此時也稱 $G$ 為集合 $S$ 上的自由群，其群結構決定於集合 $S$ ，記為 $F (S)$ ， $S$ 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群。

[编辑] 歷史

在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

[编辑] 例子

2個圓環的集束

整數的加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是自由群；事實上我們可取 $S : = {1}$ 。
在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。
在代數拓撲學中， $k$ 個圓環的集束（即： $k$ 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 $k$ 個生成元的自由群。

[编辑] 建構方式

今將構造集合 $S$ 上之自由群 $F (S)$ ，分解動作如下。

對任何 $s \in S$ ，引入符號 $s - 1$ ，稱作 $s$ 的逆元。
考慮所有由符號 $s, s^{-1} \; (s \in S)$ 構成的有限字串。
如果一個字串能透過將 $s s - 1$ 或 $s - 1 s$ 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 $F (S)$ 。
我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即： $x \sim y, x' \sim y' \Rightarrow xx' \sim yy'$ 。故字串接合在 $F (S)$ 導出二元運算，並滿足交換律。
取 $F (S)$ 及字串接合運算構成一個群，字串 $s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}$ 之逆為 $s_1^{\mp 1} \cdots s_n^{\mp 1}$ 。此即所求。

若 $S$ 為空集，則 $F (S)$ 為平凡群。

[编辑] 泛性質

上述構造 $F (S)$ 帶有一個自然的集合映射 $\phi: S \rightarrow F(S)$ 。這對資料 $(F (S),φ)$ 滿足以下泛性質：

若

G

為群， $\psi: S \rightarrow G$ 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 $f: F(S) \rightarrow G$ 使得 $f \circ \phi = \psi$ 。

事實上我們僅須，也必須設 $f(s_1^{\pm 1} \cdots s_n^{\pm 1}) := \psi(s_1)^{\pm 1} \cdots \psi(p_n)^{\pm 1}$ ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 $(F 1,φ 1)$ 、 $(F 2,φ 2)$ 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 $F(-): S \mapsto F(S)$ 是遺忘函子的左伴隨函子。

[编辑] 性質與定理

任何群 $G$ 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 $S$ 為 $G$ 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 $F(S) \rightarrow G$ 的核 $R$ 稱作關係， $F (S), K$ 稱作 $G$ 的一個展示；若 $S$ 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。
如果 $S$ 有超過一個元素，則 $F (S)$ 非交換；事實上 $F (S)$ 的中心只有單位元素。
任兩個自由群 $F (S), F (T)$ 同構的充要條件是 $S, T$ 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 $G$ 為 $n$ 階， $(G : H) = k$ ，則 $H$ 為 $1 - n + n k$ 階（在此設 $n, k$ 有限）。
設 $F$ 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 $n$ ， $F$ 中都存在 $n$ 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

[编辑] 自由阿貝爾群

更多資料：自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 $S$ 上的自由阿貝爾群可視為自由 $\mathbb{Z}$ -模來構造，或取作 $F (S)$ 的「交換化」： $F (S) / [F (S), F (S)]$ （換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

[编辑] 塔斯基的問題

塔斯基在1945年左右提出下述問題：

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

[编辑] 文獻

Hungerford, Thomas (1974). Algebra. Springer. ISBN 0-387-90518-9.

分类: 群论

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