חבורה טופולוגית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בתורת החבורות, חבורה טופולוגית היא חבורה המהווה גם מרחב טופולוגי, ובה פעולות הכפל וההיפוך הן פונקציות רציפות. בזכות הופעתן של חבורות אלה בתחומים רבים כל-כך במתמטיקה, חבורות טופולוגיות הן הסוג החשוב ביותר של חבורות אינסופיות.

כל חבורה אפשר להפוך לחבורה טופולוגית על ידי בחירת הטופולוגיה הדיסקרטית; במובן זה, החבורות הדיסקרטיות הן החבורות הטופולוגיות הטריוויאליות.

[עריכה] תת-חבורות

כל תת-חבורה H של חבורה טופולוגית G יורשת ממנה גם את המבנה האלגברי וגם את המבנה הטופולוגי, וכך היא מהווה חבורה טופולוגית בעצמה. גם מרחב המנה $\ G/H$ הוא מרחב טופולוגי, וההטלה $\ G\rightarrow G/H$ היא פתוחה. עם זאת, כדי שיהיו למרחב המנה תכונות מוצלחות, תת-החבורה חייבת לקיים תנאים טופולוגיים: $\ G/H$ הוא מרחב האוסדורף אם ורק אם H סגורה, ו- $\ G/H$ מרחב דיסקרטי אם ורק אם H פתוחה. מכאן נובעת עובדה חשובה: כל תת-חבורה פתוחה היא גם סגורה (ולכן לחבורה טופולוגית קשירה לא יכולות להיות תת-חבורות פתוחות כלל).

הסגור הטופולוגי של תת-חבורה מהווה תת-חבורה סגורה; והסגור הטופולוגי של תת-חבורה נורמלית הוא תת-חבורה נורמלית סגורה. לדוגמה, הסגור של תת-החבורה הטריוויאלית מהווה תת-חבורה נורמלית סגורה.

אם H תת-חבורה נורמלית, אז חבורת המנה היא בעצמה חבורה טופולוגית.

למרכיב הקשירות של היחידה יש תפקיד מיוחד: זוהי תת-חבורה נורמלית $\ G^{\circ}$ , ומרחב המנה $\ G/G^{\circ}$ הוא מרחב לא קשיר לחלוטין.

[עריכה] סוגים חשובים של חבורות טופולוגיות

ישנן שלוש משפחות של חבורות טופולוגיות, זו למעלה מזו. המשפחה החשובה הראשונה כוללת את החבורות הטופולוגיות המקיימות את תכונת האוסדורף. חבורה טופולוגית היא כזו אם ורק אם תת-החבורה $\ \left\{1\right\}$ היא סגורה. בחבורת האוסדורף ההעתקה $\ G\rightarrow G/H$ היא סגורה, והמכפלה של כל תת-קבוצה סגורה בקבוצה קומפקטית היא סגורה. למעשה, תכונת T0 מספיקה כדי להבטיח שהחבורה תקיים את תכונת האוסדורף.

במחלקה הבאה נמצאות חבורות האוסדורף קומפקטיות מקומית (המונח "חבורה קומפקטית מקומית" כולל, כעניין של הגדרה, גם את תכונת האוסדורף). כל תת-חבורה קומפקטית מקומית של חבורה קומפקטית מקומית היא סגורה. התכונה החשובה ביותר של חבורות כאלה הוא קיום של מידת האר יחידה: זוהי מידת בורל ממשית רגולרית (מבפנים על קבוצות פתוחות, ומבחוץ על קבוצות בורל) $\ \mu$ , שהיא סופית על קבוצות קומפקטיות, ואינווריאנטית משמאל - $\ \mu(xA)=\mu(A)$ . היחידות היא עד-כדי כפל בקבוע חיובי. באותו אופן קיימת גם מידת האר יחידה שהיא אינווריאנטית מימין.

הדוגמה הטיפוסית לחבורה קומפקטית מקומית היא חבורת לי, למשל חבורת המטריצות $\ GL_n(\mathbb{R})$ .

המשפחה השלישית היא של חבורות פרו-סופיות, שהן חבורות המהוות גבול הפוך של חבורות סופיות. הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אינסופית כזו היא חבורת השלמים ה-p-אדיים, $\ \mathbb{Z}_p$ , שאפשר להציג כגבול של החבורות הציקליות $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \leftarrow \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z} \leftarrow \dots \leftarrow \mathbb{Z}_p$ . חבורות אלה מצוידות בטופולוגיה הפרו-סופית, שתחתיה הן מהוות חבורת האוסדורף קומפקטית.

למעשה, כל חבורה קומפקטית שהיא לא-קשירה לחלוטין, מהווה חבורה פרו-סופית. כאשר G פרו-סופית, תת-חבורה H היא פתוחה אם ורק אם היא בעלת אינדקס סופי. תת-חבורה H היא סגורה, אם ורק אם היא מהווה חיתוך של חבורות פתוחות; תכונה שקולה אחרת היא שהטופולוגיה המושרית מ- G ל- H תהיה בעצמה פרו-סופית. במקרה כזה, חבורת המנה $\ G/H$ היא פרו-סופית בעצמה.

[עריכה] חוגים ושדות טופולוגיים

באופן דומה להגדרת המושג חבורה טופולוגית ניתן להגדיר חוג טופולוגי באופן הבא: נניח כי R הוא חוג שהוא גם מרחב טופולוגי. נאמר שR הוא חוג טופולוגי אם פעולות החיבור והכפל בחוג הן פונקציות רציפות. אם R הוא שדה, נאמר שR הוא שדה טופולוגי אם גם פעולת ההופכי לכפל (המוגדרת על תת המרחב $\,R-\{0\}$ ) היא פונקציה רציפה.