Gamma dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Gamma
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$k > 0\,$ şekil (reel) $\theta > 0\,$ ölçek (reel)
Destek	$x \ [0; \infty)\!$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	$x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!$
Ortalama	$k \theta\,\!$
Medyan	basit kapalı form yok
Mod	$(k-1) \theta\text{ for }k \geq 1\,\!$
Varyans	$k \theta^2\,\!$
Çarpıklık	$\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!$
Fazladan basıklık	$\frac{6}{k}\,\!$
Entropi	$k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!$ $+ (1-k)\psi(k) \!$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$(1 - \theta\,t)^{-k}\text{ for }t < 1/\theta\,\!$
Karakteristik fonksiyon	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tamsayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre $\frac{1}{\theta}$ olur.

[değiştir] Karekteristikler

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

$X \sim \Gamma(k, \theta) \,\,\mathrm{ veya }\,\, X \sim \textrm{Gamma}(k, \theta).$

[değiştir] Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

$f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)} \ \mathrm{ for }\ x > 0\,\, \mathrm{ and }\,\, k, \theta > 0.$

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi $α = k$ ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi $β = 1 / θ$ kullanılarak şöyle elde edilir:

$g(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1} \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)} \ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!.$

Eger

α

bir pozitif tamsayı ise, o halde

Γ(α) = (α - 1)!

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

[değiştir] Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

$F(x;k,\theta) = \int_0^x f(u;k,\theta)\,du =\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} \,\!$

[değiştir] Özellikler

[değiştir] Toplama

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken X_iin dağılımı bir Γ(α_i, β) olursa; o halde

$\sum_{i=1}^N X_i \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^N \alpha_i, \beta \right) \,\!$

Ancak bütün Γ(α_i, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

[değiştir] Ölçekleme

Herhangi bir t icçin tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

[değiştir] Üstel ailesi

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri $k - 1$ ve $- 1 / θ$ ; ve doğal istatistikleri $X$ ve $ln(X)$ olur.

[değiştir] Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

$\frac{-1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_0^{\infty} \frac{x^{k-1}}{e^{x/\theta}} \left[ (k-1)\ln x - x/\theta - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \,dx \!$

$= -\left[ (k-1) (\ln\theta + \psi(k)) - k - k \ln\theta - \ln\Gamma(k) \right] \!$

$= k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) + (1-k)\psi(k) \!$

burada ψ(k) bir digamma fonksiyonu olur.

[değiştir] Kullback–Leibler ayrılımı

'Gerçek' dağılım olan Γ(α₀, β₀) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

$D_{\mathrm{KL}}(\alpha,\beta || \alpha_0, \beta_0) = \log\left(\frac{\Gamma({\alpha_0})\beta_0^{\alpha_0}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha_0}}\right)+(\alpha-{\alpha_0})\psi(\alpha)+\alpha\frac{\beta-\beta_0}{\beta_0}$

[değiştir] Laplace dönüşümü

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

$F(s)=\frac{\beta^\alpha}{(s+\beta)^\alpha}.$

[değiştir] Parametre tahmini

[değiştir] Maksimum olabilirlilik tahmini

The likelihood function for N iid observations $(x_1,\ldots,x_N)$ is

$L(\theta)=\prod_{i=1}^N f(x_i;k,\theta)\,\!$

from which we calculate the log-likelihood function

$\ell(\theta) = (k-1) \sum_{i=1}^N \ln{(x_i)} - \sum x_i/\theta - Nk\ln{(\theta)} - N\ln{\Gamma(k)}.$

Finding the maximum with respect to $θ$ by taking the derivative and setting it equal to zero yields the maximum likelihood estimate of the θ parameter:

$\hat{\theta} = \frac{1}{kN}\sum_{i=1}^N x_i. \,\!$

Substituting this into the log-likelihood function gives

$\ell=(k-1)\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)}-Nk-Nk\ln{\left(\frac{\sum x_i}{kN}\right)}-N\ln{(\Gamma(k))}. \,\!$

Finding the maximum with respect to k by taking the derivative and setting it equal to zero yields

$\ln{(k)}-\psi(k)=\ln{\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)}-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)} \,\!$

where

$\psi(k) = \frac{\Gamma'(k)}{\Gamma(k)} \!$

is the digamma function.

There is no closed-form solution for k. The function is numerically very well behaved, so if a numerical solution is desired, it can be found using, for example, Newton's method. An initial value of k can be found either using the method of moments, or using the approximation

$\ln(k)-\psi(k) \approx \frac{1}{k}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{12k+2}\right). \,\!$

If we let

$s = \ln{\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i\right)} - \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\ln{(x_i)},\,\!$

then k is approximately

$k \approx \frac{3-s+\sqrt{(s-3)^2 + 24s}}{12s}$

which is within 1.5% of the correct value.^{[kaynak belirtilmeli]} An explicit form for the Newton-Raphson update of this initial guess is given by Choi and Wette (1969) as the following expression:

$k \leftarrow k - \frac{ \ln k - \psi\left(k\right) - s }{ 1/k - \psi'\left(k\right) }$

where $\psi'\left(\cdot\right)$ denotes the trigamma function (the derivative of the digamma function).

The digamma and trigamma functions can be difficult to calculate with high precision. However, approximations known to be good to several significant figures can be computed using the following approximation formulae:

$\psi\left(k\right) = \begin{cases} \ln(k) - ( 1 + ( 1 - ( 1/10 - 1 / ( 21 k^2 ) ) / k^2 ) / ( 6 k ) ) / ( 2 k ), \quad k \geq 8 \\ \psi\left( k + 1 \right) - 1/k, \quad k < 8 \end{cases}$

and

$\psi'\left(k\right) = \begin{cases} ( 1 + ( 1 + ( 1 - ( 1/5 - 1 / ( 7 k^2 ) ) / k^2 ) / ( 3 k ) ) / ( 2 k ) ) / k, \quad k \geq 8, \\ \psi'\left( k + 1 \right) + 1/k^2, \quad k < 8. \end{cases}$

For details, see Choi and Wette (1969).

[değiştir] Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata

Bilinen degerde k ve bilinmeyen degerde ' $θ$ , icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu ( $θ$ icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

$P(\theta | k, x_1, ..., x_N) \propto 1/\theta \prod_{i=1}^N f(x_i;k,\theta).\,\!$

Su ifade verilsin

$y \equiv \sum_{i=1}^N x_i , \qquad P(\theta | k, x_1, \dots , x_N) = C(x_i) \theta^{-N k-1} e^{-y / \theta}. \!$

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanilarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

$\scriptstyle \alpha = N k,\ \ \beta = y$

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.

$\int_0^{\infty} \theta^{-N k-1+m} e^{-y / \theta}\, d\theta = \int_0^{\infty} x^{N k -1 -m} e^{-x y} \, dx = y^{-(N k -m)} \Gamma(N k -m). \!$

The moments can be computed by taking the ratio (m by m = 0)

$E(x^m) = \frac {\Gamma (N k -m)} {\Gamma(N k)} y^m, \!$

which shows that the mean +/- standard deviation estimate of the posterior distribution for theta is

$\frac {y} {N k -1}$ +/- $\frac {y^2} {(N k-1)^2 (N k-2)}.$

[değiştir] Gamma dagilim gosteren rassal degisken uretimi

Given the scaling property above, it is enough to generate gamma variables with β = 1 as we can later convert to any value of β with simple division.

Using the fact that a Γ(1, 1) distribution is the same as an Exp(1) distribution, and noting the method of generating exponential variables, we conclude that if U is uniformly distributed on (0, 1], then −ln(U) is distributed Γ(1, 1). Now, using the "α-addition" property of gamma distribution, we expand this result:

$\sum_{k=1}^n {-\ln U_k} \sim \Gamma(n, 1),$

where U_k are all uniformly distributed on (0, 1] and independent.

All that is left now is to generate a variable distributed as Γ(δ, 1) for 0 < δ < 1 and apply the "α-addition" property once more. This is the most difficult part.

We provide an algorithm without proof. It is an instance of the acceptance-rejection method:

Let m be 1.
Generate $V 3 m - 2$ , $V 3 m - 1$ and $V 3 m$ — independent uniformly distributed on (0, 1] variables.
If $V_{3m - 2} \le v_0$ , where $v_0 = \frac e {e + \delta}$ , then go to step 4, else go to step 5.
Let $\xi_m = V_{3m - 1}^{1 / \delta}, \ \eta_m = V_{3m} \xi _m^ {\delta - 1}$ . Go to step 6.
Let $\xi_m = 1 - \ln {V_{3m - 1}}, \ \eta_m = V_{3m} e^{-\xi_m}$ .
If $\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}$ , then increment m and go to step 2.
Assume $ξ = ξ m$ to be the realization of $Γ(δ,1)$

Now, to summarize,

$\theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma (k, \theta),$

where [k] is the integral part of k, and ξ has been generated using the algorithm above with δ = {k} (the fractional part of k), U_k and V_l are distributed as explained above and are all independent.

The GNU Scientific Library has robust routines for sampling many distributions including the Gamma distribution.

[değiştir] İlişkili dağılımlar

[değiştir] Specializations

If $X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,$ , then X has an exponential distribution with rate parameter λ.
If $X \sim {\Gamma}(k=v/2, \theta=2)\,$ , then X is identical to χ²(ν), the chi-square distribution with ν degrees of freedom.
If $k$ is an integer, the gamma distribution is an Erlang distribution and is the probability distribution of the waiting time until the $k$ -th "arrival" in a one-dimensional Poisson process with intensity 1/θ.
If $X^2 \sim {\Gamma}(3/2, 2a^2)\,$ , then X has a Maxwell-Boltzmann distribution with parameter a.
$X \sim \mathrm{SkewLogistic}(\theta)\,$ , then $\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \sim \Gamma (1,\theta)\,$

[değiştir] Diğerleri

Eger X bir Γ(k, θ) dagilimi gosterirse 1/X k ve θ^-1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gosterir.

If X and Y are independently distributed Γ(α, θ) and Γ(β, θ) respectively, then X / (X + Y) has a beta distribution with parameters α and β.

If X_i are independently distributed Γ(α_i,θ) respectively, then the vector (X₁ / S, ..., X_n / S), where S = X₁ + ... + X_n, follows a Dirichlet distribution with parameters α₁, ..., α_n.

[değiştir] Referanslar

R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (Bak Section 3.3.)

Şablon:MathWorld

Engineering Statistics Handbook

S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69

[değiştir] İçsel kaynaklar

Gamma distribution wikikitaplar

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki tarihli Gamma_distribution maddesi

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Aralıklı:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Aralıklı faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Aralıklı tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Caucy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonrasal · Öncel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.