Beta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Beta
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$α > 0$ şekil (reel) $β > 0$ şekil (reel)
Destek	$x \ [0; 1] icinde \!$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Ortalama	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Medyan
Mod	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ burada $α > 1,β > 1$
Varyans	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Çarpıklık	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Fazladan basıklık	metine bakın
Entropi	metine bakın
Moment üreten fonksiyon (mf)	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Karakteristik fonksiyon	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında beta dağılımı [0,1] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir.

Konu başlıkları

1 Tipik karakteristikler
- 1.1 Olasılık yoğunluk fonksiyonu
- 1.2 Yığmalı dağılım fonksiyonu
2 Özellikler
3 Parametre kestirimi
4 İlişkili dağılımlar
5 Uygulamalar
6 Kaynak
7 Dışsal bağlantılar

[değiştir] Tipik karakteristikler

[değiştir] Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Beta dağilim için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

$f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \!$

$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

$= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\!$

Burada $Γ$ bir gamma fonksiyonudur. Beta fonksiyonu, B, toplam olasılık integralinin daima bire eşit olmasını sağlamak için gerekli normalleştirme sabitidir.

[değiştir] Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$

Burada $B x (α,β)$ bir tamamlanmamış beta fonksiyonu and $I x (α,β)$ ise tanzim edilmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu olurlar.

[değiştir] Özellikler

[değiştir] Momentler

Bir α ve β parametreli beta dağılımlı rassal değişken olan X için beklenen değer ve varyans formülleri şöyle verilir:

$\begin{align} \operatorname{E}(X) = & \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\ \operatorname{Var}(X) = & \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} \end{align}$

Çarpıklık şöyle ifade edilir:

$\frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} } {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}. \,\!$

Fazladan basıklık şudur:

$6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!$

[değiştir] Enformasyon miktarlari

İki beta dağılımı gösteren rassal değişken X ~ Beta(α, β) ve Y ~ Beta(α', β') olsun. X için enformasyon entropisi değeri şudur:

$\begin{align} H(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) \end{align} \,$

burada $ψ$ bir digamma fonksiyonu olur.

Çapraz entropi şudur

$H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,$

Bundan çıkarilir ki bu iki beta dağılımı arasındaki Kullback-Leibler ayrılması şöyledir:

$D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} - (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) + (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta)$

[değiştir] Şekiller

Beta olasılık yoğunluk fonksiyonu iki parametrenin aldığı değişik değere göre değişik şekiller gösterir.

$\alpha < 1,\ \beta < 1$ U-sekilli (kırmızı çizgi)

veya kesinlikle düşüş gösterir(mavi çizgi)
- $\alpha = 1,\ \beta > 2$ kesinlikle konveks
- $\alpha = 1,\ \beta = 2$ bir doğrudur
- $\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ kesinlike konkav
$\alpha = 1,\ \beta = 1$ tekdüze dağılım
veya kesinlikle artış gösterir (yeşil çizgi)
- $\alpha > 2,\ \beta = 1$ kesinlikle konvekstir
- $\alpha = 2,\ \beta = 1$ bir doğrudur
- $1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ kesinlikle konkavdir
$\alpha > 1,\ \beta > 1$ tek modludur (mor ve siyah çizgiler)

Bunların yanında, eğer $α = β$ ise yoğunluk fonksiyonu 1/2 etrafında simetriktir (kırmızı ve mor çizgiler).

[değiştir] Parametre kestirimi

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

ifadesi örnek ortalamasi ve

$v = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2$

ifadesi örnek varyansı olarak alınsın. Kestrim değeri bulmak için kullanılan momentler-yöntemi kurallarına göre bu parametrelerin kestirimleri sırasıyla şu ifadelerle gösterilir:

$\alpha = \bar{x} \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right),$

$\beta = (1-\bar{x}) \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right).$

Eğer dağılım geçerliliği 0 ve 1 aralığından başka bir aralık için isteniyorsa, diyelim $\ l$ ile $\ h$ aralığında, o zaman $\bar{x}$ terimi verilen denklemlerde

$\frac{(\bar{x}-l)}{(h-l)} ,$ and $\ v$ with $\frac{v}{(h-l)^2}$

terimi ile değiştirlmesi gerekir. [1] [2].

[değiştir] İlişkili dağılımlar

Binom dağılımı ile ilişki aşağıda belirtilmiştir.

Beta(1,1) standard bir sürekli tekdüze dağılım ile aynıdır.

Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak Gamma dağılımı gösteriyorlarsa yani X Gamma(α, θ) ve Y Gamma(β, θ) ise, o zaman

X / (X + Y)

ifadesinin dağılımı Beta(α,β) olur.

Eğer X ve Y rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olarak biri Beta dağılımı ve diğeri 2β ve 2α serbestlik dereceleri ile Snedor'un F-dağılımı gösteriyorlarsa, yani X Beta (α,β) ve Y 'F(2β,2α) ise; o halde

Pr(X ≤ α/(α+xβ)) = Pr(Y > x) butun x > 0 için.

Beta dağılımı sadece iki paramatresi olan bir Dirichlet dağılıminin özel halidir.

Kumaraswamy dağılımi beta dağılımına benzerlik gösterir.

Eğer $X \sim {\rm U}(0, 1]\,$ ifadesi bir tekdüze dağılım gösteriyorsa, o halde

$X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \$

veya Beta dağılımının özel bir hali olan 4 parametreli güç-fonksiyonu dağılımı için

$X^2 \sim {\rm Beta}(0,1,1/2,1) \$

olur.

Subjektif mantik konusunda ele alınan binom kanılari matematiksel olarak Beta dağılımı ile aynıdırlar .

[değiştir] Uygulamalar

B(i, j) tamsayı değerli i ve j için, 0 ve 1 aralığında tekdüze dağılım gösteren i+j-1 sayıda bağımsız rassal değişkenden oluşan bir örneklem içindeki sayıların (en küçükten en büyüğe doğru) sıralanması sonucu elde edilen sıralama içinde (i-1)inci sırada olan değerin dağılımını gösterir. Bu halde 0 ve x aralığı içinde yığmalı olasılık (i)inci en küçük değerin xden daha küçük olmasının olasılığını gösterir. Diğer bir şekilde ifade ile, bu yığmalı olasılık ortada bulunan rassal değişkenlerden an aşağı i tanesinin xden daha küçük değer gösteremesi olayının olasılığıdır.Bu olasılık p parametreli bir binom dağılımının x'e toplanması ile elde edilir. Bu beta dağılımı ile binom dağılımı arasındaki yakın ilişkiyi açıkca gösterir.

Beta dağılımları Bayes tipi istatistik içinde çok geniş uygulama göstermektedir. Beta dağılımları (Bernoulli dahil) binom ve geometrik dağılımlar için bir sıra eşlenik-önceller sağlamaktadır. Beta(0,0) dağılımı uygunsuz öncel olduğu için bircok kere parametre değerlerinin bilinmezliğini temsil için kullanılmaktadır.

Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı içinde sınırlanmş olayların ortaya çıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi için kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve üçgensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini için kullanılmaktadır. Proje idare ve kontrolu için çok kere kısa olarak yapılan hesaplarda, belli bir aktivite uzunluğu için Beta dağılımlarının ortalama ve varyans değerleri şu şekilde kullanılır:

$\begin{align} \mathrm{ortalama}(X) & {} = E(X)= \frac{a + 4b + c}{6}, \\ \mathrm{std.sap.}(X) & {} = \frac{c-a}{6}, \end{align}$

burada a minimum, c maksimum ve b en mümkün olabilir değerdir.

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki Mart 2008 tarihli Beta_distribution maddesi

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Beta dağılımı, MathWorld.
"Beta dağılımları" by Fiona Maclachlan, Wolfram Gösteri Projesi, 2007.
Beta dağılımı - Genel görüş ve bir örnek, xycoon.com
Beta dağılımı, brighton-webs.co.uk

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Aralıklı:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Aralıklı faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Aralıklı tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Caucy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonrasal · Öncel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.