Basıklık

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında basıklık (İngilizce kurtosis adı ve) kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk dafa açıklanmıştır ^[1]. Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden anımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür.

Konu başlıkları

1 Basıklık tanımlaması
2 Terminoloji ve örneğinler
- 2.1 Bazı dağılımlar için basıklık
3 Örneklem için basıklık
4 Anakütle basıklık kestirimcileri
5 İçsel kaynaklar
6 Kaynak
7 Referenslar
8 Dışsal bağlantılar

[değiştir] Basıklık tanımlaması

Dördüncü standarize edilmiş moment şöyle tanımlanır;

$\frac{\mu_4}{\sigma^4},\!$

Burada μ₄ dördüncü ortalama etrafındaki moment ve σ standart sapmadır. Biraz eski istatistik kitaplarında bazan bu ifade basıklık tanımlaması olarak kullanılmaktaydı.

Daha alışılagelmiş bir şekilde basıklık, bir olasılık dağılımının "dördüncü kümülant değeri bölü varyans karesi" olarak şöyle tanımlanır:

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3, \!$

Bu bir ölçü olarak kullanılırsa basıklık fazlalığı olarak bilinir. Formulün son terimi olan eksi 3 çok kere basıklık tanımlama formulüne yapılan bir ayarlama olarak açıklanır. Bu ayarlama sayesinde, normal eğrisinin basıklık ölçüsü değeri sıfır olur.

Bu ayarlamanın yapılmasının diğer bir nedeni ise birkaç rassal değişken toplamı için basıklık ölçüsünü incelemekle açıklanır. Ölçü kümülant kullanılarak tanımlandığı için eğer Y rassal değişkeni n tane istatistiksel bağımsız ve her biri aynı dağılım gösteren Xlerin bir toplamı ise; o halde

Basıklık[Y] = Basıklık[X] / n,

olacaktır ve bu basit bir ortalama gibi görünüş verir. Bir genel ifade ile X₁, ..., X_n rassal değişkenin hepsi aynı varyansa sahipler ve ayni dağılım gösterirlerse, toplam rassal değişken Y için basıklık şu olur:

$\operatorname{Basik}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = {1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Basik}(X_i),$

Eğer ayar yapılmasa ve hatta dördüncü moment ölçü formulü olarak kullanılırsa idi bu basit toplam formulü ele geçmezdi.

Dördüncü standardize edilmiş moment için en küçük değer 1dir; bu nedenle en küçük basıklık fazlalığı değeri &minus 2 olur. Dördüncü moment ve kümülant değeri için üst bir sınırlama yoktur ve üst değer artı sonsuz kadar büyük olabilir. Bu nedenle basıklık ölçüsü değeri −2 ile artı sonsuzluk arasında bulunabilir.

[değiştir] Terminoloji ve örneğinler

'Basıklık' terminolojisi biraz fikir karmaşıklığına yol açabilir. Eğer dağılım basık ise negatif basıklık ölçüsü gösterir. Belki kavramın adına sivrilik demek daha doğru olabilecektir.

Eğer yukarıda verilen 'basıklık' ölçüsü yüksek değer gösteriyorsa dağılımın yoğunluk grafiği sivri bir doruk ve basıkca kuyrukları bulunur; diger taraftan basıklık ölçüsü düşük ise (yani 2ye yakın), doruk daha yuvarlanamıştır ve genişce yüksek omuzları bulunmaktadır.

Eğer basıklık ölçüsü 0 değerde ise bu çeşit dağılıma meso-basık (İngilizcesi 'meso-kutric') adı verilir. Sıfır (0) basıklık ölçülü, yani meso-basik, en iyi bilinen dağılım (parametreleri ne değerlerde olursa olsun) normal dağılımdır. Parametre değerlerine göre birkac diğer dağılım da meso-basık yani 0 ölçü değeri gösterirler. Örneğin, eğer $p = 1/2 \pm \sqrt{1/12}$ ise bir binom dağılım meso-basıktir.

Basıklık olcusu sıfırın ustunde pozitif (0 ile sonsuz arasında) olursa, bu turlu dağılıma lepto-basık adı verilebilir (Lepto- eski Yunanca'dan alınma). Grafik sekline gore eğer bir dağılım lepto-basık ise ortalama degeri normaldan daha sivri ve kuyruk değerleri daha yuksek olur ve bu tip dağılımlara şişman kuyruklu dağılım adı da verilmektedir. Laplace dağılımı ve logistik dağılımı lepto-basık dağılımlara örnektirler. Bazan da bu türlü dağılımlara süper Gauss tipi dağılım adı verilir.

Eğer basıklık olcusu sıfırın altında (−2 ile 0 arasında) olursa, bu türlü dağılıma plati-basık adı verilebilir (plati- eski Yunanca'dan alınma). En alt sınırda, basıklık ölçüsü -2 olan parametre değeri p = ½ olan bir Bernoulli dağılımıdır. Bu çeşit dağılımların grafikleri ortalama etrafında düşük ve yayvan ve kısa sıska kuyruklar görünümü verirler. Aralıklı veya sürekli tekdüze dağılım ve yükseltilmiş kosinus dağılımı plati-basıklık gösteren dağılımlara ornektirler. Bu turlu dağılımlara Gauss alti tipi adı da verilir.

[değiştir] Bazı dağılımlar için basıklık

Bu gösterimlerde değişik parametrik ailelere bağlı olan bazı iyi bilinen dağılımlar karşılaştırılmaktadır. Tümünün yoğunluğu tek-modlu ve simetriktir. Herbirinin ortalaması bulunmaktadır. Parametre değerleri öyle seçilmiştir ki bütün örneğinler için varyans bire eşittir. Doğrusal ölçekte ve logaritmalı ölçekte şu yedi dağılım karşılaştırılmaktadır:

D: Laplace dağılımı - Bazan çift üstel dağılım denir. Kırmızı eğri (log-ölçekte grafikte iki doğru olarak gorulmekte)- basıklık ölçümü = 3

S: Hiperbolik sekant dağılımı - turuncu eğri - basıklık ölçümü = 2

L: logistik dağılımı - yeşil eğri - basıklık ölçümü = 1.2

N: normal dağılımı - siyah eğri (log-ölçümünde tepesi aşağıda bir parabol) - basıklık ölçümü = 0

C: yükseltilmiş kosinus dağılımı -mavimsi eğri - basıklık ölçümü= −0.593762…

W: Wigner'in yarım-daire dağılımı - mavi eğri - basıklık ölçümü = -1

U: sürekli tekdüze dağılım - morumsu eğri - basıklık ölçümü = -1.2

[değiştir] Örneklem için basıklık

n sayıda gözlem değeri bulunan bir rassal örneklem için örneklem basıklığı şöyle ölçülür:

$g_2 = \frac{m_4}{m_{2}^2} -3 = \frac{n\,\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3$

Burada m₄ örneklem ortalaması etrafındaki örneklem dördüncu momenti, m₂ ortalama etrafındaki ikinci moment (yahut örneklem varyansı, x_i gözümlenen iinci değer, ve $\overline{x}$ ise örneklem ortalamasıdır.

Şu formül de

$D = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^2}$ ,

$E = {1 \over n D^2} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^4} - 3$

kullanılmaktadır, Burada n - örneklem büyüklüğü, D - hesaptan önce bilinen varyans değeri, x_i x'inci ölçüm değeri ve $\bar{x}$ - hesaptan önce bilinen ortalama değeri olurlar.

[değiştir] Anakütle basıklık kestirimcileri

Bir anakütleden bir altset olan örneklem verilirse, yukarıda verilmiş olan örneklem basıklık ölçüsü anakütle basıklık ölçüsünün yanlı kestirimi olur. Bilgisayar için hazırlanmış istastistik paketleri (SAS, Minitab, SPSS ve Excel) anakütle basıklık kestirimci değeri G için şu formülü kullanmaktadır:

$G_2 \!\!\!\!$	$= \frac{k_4}{k_{2}^2}\!$
	$= \frac{n^2\,((n+1)\,m_4 - 3\,(n-1)\,m_{2}^2)}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)} \; \frac{(n-1)^2}{n^2\,m_{2}^2}\!$
	$= \frac{n-1}{(n-2)\,(n-3)} \left( (n+1)\,\frac{m_4}{m_{2}^2} - 3\,(n-1) \right)\!$
	$= \frac{n-1}{(n-2) (n-3)} \left( (n+1)\,g_2 + 6 \right)\!$
	$= \frac{(n+1)\,n\,(n-1)}{(n-2)\,(n-3)} \; \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\right)^2} - 3\,\frac{(n-1)^2}{(n-2)\,(n-3)}\!$
	$= \frac{(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)} \; \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^4}{k_{2}^2} - 3\,\frac{(n-1)^2}{(n-2) (n-3)} \!$

Burada k₄ dördüncü kümülant değerinin tek simetrik yanlı olmayan kestirimidir; k₂ anakütle varyansı için yanlı olmayan kestirim değeridir; m₄ ortalama etrafında dördüncü örneklem momentidir; m₂ örneklem varyansıdır; x_i i^inci değer, ve $\bar{x}$ örneklem ortalamasıdır.

Sadece BDMP istatistik paketi bu formülü kullanmakatadır.

Ne yazıktır ki bu $G 2$ kendisi genellikle yanlı kestirimdir. Bu sadece bir normal dağılım için yanlı değildir çünkü o halde beklenen değeri sıfır olmaktadır.

[değiştir] İçsel kaynaklar

Çarpıklık
Çarpıklık rizikosu
Basıklık rizikosu

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki 24 Mart 2008 tarihli Kurtosis maddesi

[değiştir] Referenslar

Joanes, D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. Journal of the Royal Statistical Society (Series D): The Statistician 47 (1), 183–189. doi:10.1111/1467-9884.00122

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Bedava Online Yazılım (Hesaplayıcı): Herhangi veri grubu için değişik çarpıklık ve basıklık ölçülerini hesaplar. Küçük ve büyük örneklemler için sınamalar uygular.)..

[1] içinde bulunan Basıklık: Matematik bilimi içinde bazı kavram isimlerinin ilk defa kullanılmaları hakkında bir seri yazı]

Basıklık kavramının 100ncü yılı kutlanması Konunun bir tarihçesi ve değişik basıklık ölçülerinin açıklanması.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.