Varyans

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında varyans bir rassal değişken, bir olasılık dağılımı veya örneklem için istatistiksel yayılımın, mümkün bütün değerlerin beklenen değer veya ortalamadan uzaklıklarının karelerinin ortalaması şeklinde bulunan bir ölçüdür. Ortalama bir dağılımın merkezsel konum noktasını bulmaya çalışırken, varyans değerlerin ne ölçekte veya ne derecede yaygın olduklarını tanımlamayı hedef alır. Varyans için ölçülme birimi orijinal değişkenin biriminin karesidir. Varyansın kare kökü standart sapma olarak adlandırılır; bunun ölçme birimi orijinal değişkenle aynı birimde olur ve bu nedenle daha kolayca yorumlanabilir.

Bir reel sayı halinde olan rassal değişkenin varyansı o rassal değişkenin ikinci merkezsel momenti ve aynı zamanda ikinci kümülantı olur. Eğer varyans değeri var ise, ortalama değeri de vardır. Ama bunun aksi doğru değildir.

[değiştir] Tanımlama

Varyans bır dağılımın kendi ortalamasından sapmasının karesinin beklenen değeridir. Varyans kavramı dağılıma ait herbir değerin dağılımın ortalamasından ne kadar uzak olduğuyla ilgilidir. Varyans söz konusu sapmaların ortalama değerini ölçmektedir.

μ = E(X), X değişkeninin beklenen ortalama değeri olmak üzere, varyans şöyle tanımlanır:

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}((X-\mu)^2).$

Teorik uygulamalarda varyans; $\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2$ formülü kullanılarak hesaplanır.

Sonlu bir anakütlenin varyansı aşağıdaki şekilde gösterilir:

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 \, \Pr(x_i),$ . Bu özel bir varyans tanımı olarak sonlu anakütlelere özgü bir tanımdır.

Örneklem varyansı ise şu şekilde tanımlanmaktadır:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2,$

Örneklem varyansı, anakütle varyansının yansız bir kestirmicisidir. İspatı ise aşağıdaki şekilde gösterilir:

$\operatorname{E} \{ s^2 \} = \operatorname{E} \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left( (x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\} - 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\} + \operatorname{E} \left\{ (\overline{x} - \mu) ^ 2 \right\}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \sigma^2 - 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right) + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \sigma^2 - \frac{2 \sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{n}$

$= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n}$

$= \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2$

Bu özellikten faydalanılarak örneklem varyansının hesaplanması ile anakütle varyansına ilişkin kestirimlerde bulunulabilir. Bu durumda örneklemin rastsal bir örneklem olması önemlidir. Aksi takdirde örnekleme dayalı kestirimlerler sağlıklı sonuçlar vermeyecektir.