Rozptyl (statistika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Rozptyl (též střední kvadratická odchylka, střední kvadratická fluktuace, variance nebo také disperze) se používá v teorii pravděpodobnosti a statistice. Je to druhý centrální moment náhodné veličiny. Jedná se o charakteristiku variability rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která vyjadřuje variabilitu rozdělení souboru náhodných hodnot kolem její střední hodnoty.

Rozptyl náhodné veličiny $X$ se označuje $σ 2 (X)$ , $S 2 (X)$ , $D (X)$ nebo $\operatorname{var}(X)$ .

[editovat] Definice

Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje směrodatná odchylka.

Pro diskrétní náhodnou veličinu jej můžeme definovat vztahem

$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n {\left[x_i - \operatorname{E}(X)\right]}^2 p_i = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - {[\operatorname{E}(X)]}^2$ ,

kde $x i$ jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina $X$ nabývat (s pravděpodobnostmi $p i$ ) a $\operatorname{E}(X)$ je střední hodnota veličiny $X$ .

Je-li pravděpodobnost všech diskrétních hodnot stejná, pak se předchozí vztah zjednoduší na

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\operatorname{E}(x))^2$

Pro spojitou náhodnou veličinu definujeme rozptyl vztahem

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty {\left[x-\operatorname{E}(X)\right]}^2 f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\mathrm{d}x - {[\operatorname{E}(X)]}^2$ ,