Charakteristika náhodné veličiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, není však dostatečně přehledné.

Obsah

1 Podle popisované vlastnosti
2 Podle způsobu vytvoření
- 2.1 Momentové charakteristiky
- 2.2 Kvantilové charakteristiky
3 Vícerozměrná náhodná veličina
4 Související články

[editovat] Podle popisované vlastnosti

Podle popisované vlastnosti lze charakteristiky rozdělit na

[editovat] Charakteristiky polohy

Podrobnější informace naleznete v článku Míra polohy.

Charakteristiky polohy jsou určité hodnoty, které lze považovat za střed, kolem kterého náhodné veličiny kolísají.

Nejčastěji používanou charakteristikou polohy je střední hodnota. Často užívanými charakteristikami jsou také medián a modus.

[editovat] Charakteristiky variability

Charakteristiky variability určují velikost odchylek náhodné veličiny od nějaké charakteristiky polohy.

Nejpoužívanějšími charakteristikami variability jsou rozptyl (statistika), směrodatná odchylka, střední odchylka, popř. variační koeficient nebo mezikvartilové rozpětí.

[editovat] Charakteristiky šikmosti a špičatosti

Charakteristiky šikmosti a špičatosti charakterizují tvar křivky hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny.

Charakteristikou šikmosti je koeficient šikmosti. Charakteristikou špičatosti je koeficient špičatosti.

[editovat] Podle způsobu vytvoření

Charakteristiky lze také dělit podle způsobu jejich vytvoření na

[editovat] Momentové charakteristiky

Momentové charakteristiky jsou funkcemi všech hodnot, kterých náhodná veličina může nabývat.

Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.

[editovat] Kvantilové charakteristiky

Kvantilové charakteristiky jsou hodnoty $x P$ náhodné veličiny $X$ , pro které platí podmínka $F (x P) = P$ , kde $F$ je distribuční funkce a $P$ je definovaná hodnota pravděpodobnosti.

Mezi kvantilové charakteristiky patří kvantily, speciálně např. medián nebo modus.

[editovat] Vícerozměrná náhodná veličina

Charakteristiky vícerozměrné náhodné veličiny, tedy náhodného vektoru, můžeme rozdělit na marginální charakteristiky, podmíněné charakteristiky a charakteristiky, které poskytují informaci o vztahu mezi jednotlivými složkami náhodného vektoru.

[editovat] Marginální charakteristiky

Marginální charakteristiky poskytují informaci o vlastnostech marginálního rozdělení. Marginální charakteristiky jsou totožné s jednorozměrnými charakteristikami a platí pro ně stejné vztahy.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami $X$ a $Y$ , pak pro veličinu $X$ lze určit marginální střední hodnotu a marginální rozptyl vztahy

$\operatorname{E}(X) = \sum_x x P_1(x)$

$D(X) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 P_1(x)$

Jsou-li složky $X, Y$ spojité, pak platí

$\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f_1(x)\mathrm{d}x$

$D(X) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 f_1(x)\mathrm{d}x$ ,

kde $f 1$ je marginální hustota pravděpodobnosti.

Obdobné vztahy získáme také pro veličinu $Y$ . Při určování ostatních marginálních charakteristik postupujeme podobně jako v případě jednorozměrných charakteristik.

[editovat] Podmíněné charakteristiky

Podmíněné charakteristiky popisují vlastnosti podmíněného rozdělení.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami $X$ a $Y$ , pak lze určit podmíněnou střední hodnotu a podmíněný rozptyl veličiny $X$ za podmínky, že $Y = y$ vztahy

$\operatorname{E}(X|y) = \sum_x x P(x|y)$

$D(X|y) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 P(x|y)$

Jsou-li složky $X, Y$ spojité, pak platí

$\operatorname{E}(X|y) = \int_{-\infty}^\infty x f(x|y)\mathrm{d}x$

$D(X|y) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 f(x|y)\mathrm{d}x$

Obdobně jsou definovány také $E (Y | x)$ a $D (Y | x)$ .

[editovat] Charakteristiky poskytující informaci o závislosti mezi veličinami

Podrobnější informace naleznete v článku Korelace.

Míru statistické závislosti mezi proměnnými určuje korelace. Při větší (statistické) závislosti proměnných je větší hodnota jejich korelace.

[editovat] Kovariance

Kovariance je střední hodnota součinu odchylek obou náhodných veličin X,Y od jejich středních hodnot.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny $X, Y$ , pak vztah mezi těmito veličinami lze vyjádřit pomocí kovariance $C (X, Y)$ , která je definována jako

$C(X,Y) = \operatorname{E}\left\{[X-\operatorname{E}(X)][Y-\operatorname{E}(Y)]\right\} = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)$

Kovariance může nabývat hodnot z intervalu $(-\infty,\infty)$ . Kovariance poskytuje informaci o intenzitě vztahu mezi dvěma veličinami.

[editovat] Koeficient korelace

Při výpočtech je však místo kovariance výhodnější používat koeficient korelace $ρ(X, Y)$ definovaný vztahem

$\rho(X,Y) = \frac{C(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ ,

kde $σ(X)$ a $σ(Y)$ jsou směrodatné odchylky veličin $X, Y$ .

Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu $\langle -1,1\rangle$ . Pro $ρ = + 1$ je mezi $X, Y$ přímá lineární závislost. Pro $ρ = - 1$ je mezi $X, Y$ nepřímá lineární závislost. Pro $ρ = 0$ jsou veličiny $X, Y$ lineárně nezávislé, a říkáme o nich, že jsou nekorelované. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy neznamená obecnou nezávislost obou veličin $X$ a $Y$ , ale pouze nezávislost lineární.

[editovat] Kovarianční matice

K popisu $n$ -rozměrného náhodného vektoru používáme tzv. kovarianční matici

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} D(X_1) & C(X_1,X_2) & \cdots & C(X_1,X_n) \\ C(X_2,X_1) & D(X_2) & \cdots & C(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C(X_n,X_1) & C(X_n,X_2) & \cdots & D(X_n) \end{pmatrix}$

kde na hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých veličin $X i$ , tzn. $D (X i)$ , a pro $i\neq j$ jsou $C (X i, X j)$ kovariance veličin $X i$ a $X j$ .

Kovarianční matice je symetrická.

[editovat] Korelační matice

Kromě kovarianční matice lze pro $n$ -rozměrnou veličinu vytvořit také korelační matici $\mathbf{\rho}$ , která má na hlavní diagonále jedničky, tzn. $ρ i i = 1$ , a mimo hlavní diagonálu koeficienty korelace mezi veličinami $X i$ a $X j$ , tedy $ρ i j = ρ(X i, X j)$ .

Korelační matice je symetrická.

[editovat] Související články

Kategorie: Náhodná rozdělení

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.