Variabile casuale Beta

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La variabile casuale Beta è una v.c. continua, che deve il suo nome alla funzione Beta presente nella funzione di densità.

La v.c. Beta viene usata nella teoria della stima nonché per descrivere le durate di progetti e svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana.

[modifica] Funzione di densità

α=p , β=q

La sua funzione di densità è

$\ f(x) = [\beta(p,q)]^{-1} x^{p-1}(1-x)^{q-1}$

dove 0 <x <1 , p>0 e q>0, e $\ \beta(p,q)$ è la funzione Beta; ovvero:

$\ f(x) = \frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx}$

[modifica] Principali indicatori

media: μ = p/(p+q)
moda: $\frac{p-1}{p+q-2}\!$ per $p > 1, q > 1$
varianza: σ² = pq / [(p+q)²(p+q+1)]
simmetria: β₁ = [4(q-p)²(q+p+1)] / [pq(p+q+2)²] , pertanto simmetrica solo se p=q
curtosi: β₂ = 3 +[6(q-p)²(q+p+1)-6(p+q+2)pq] / [qp(p+q+2)(p+q+3)]

[modifica] Casi particolari

p=q=1: in tal caso si tratta di una v.c. rettangolare con a=0 e b=1

[modifica] Definizione di una Beta più generale

In termini più generali, la v.c. Beta viene definita come:

$\ f(x) = K (x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1}$

con $\ K$ tale che $\int_a^bf(x)dx=1$ In tal caso:

media: μ = (aq+bp)/(p+q)
varianza: σ² = pq(b-a)² / [(p+q)²(p+q+1)]

Un caso particolare è quando p=q=1, in tal caso si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b

[modifica] Stima dei parametri

Quando esiste il valore atteso e la varianza, allora i parametri p e q possono essere calcolati con le formule

$p = \mu \left( \frac{\mu (1 - \mu)}{\sigma^2} - 1 \right),$

$q = (1-\mu) \left( \frac{\mu (1 - \mu)}{\sigma^2} - 1 \right) = \frac{(1-\mu)}{\mu} p.$

Se si sostituiscono μ e σ² con le loro stime campionaria, allora i risultati corrispondono alla stima con il metodo dei momenti dei due parametri.

Per due valori u, v tali che 0 < u < 1 e 0 < v < u(1 − u) esiste una v.c. Beta con valore atteso E(X) = u e varianza var(X) = v.

[modifica] Relazione con altre variabili casuali

[modifica] Variabile casuale uniforme

Se X è una Beta con i parametri p=q=1 allora si tratta di una v.c. rettangolare con a=0 e b=1.

[modifica] Variabile casuale di Dirichlet

La Beta può essere considerata la forma univariata della variabile casuale di Dirichlet.

[modifica] Variabile casuale Gamma

Se X e Y sono indipendenti ed entrambe distribuite come una variabile casuale Gamma con il primo parametro in comune e il secondo parametro rispettivamente $p x$ e $p y$ , allora $\frac{X}{X+Y}$ è distribuita come una Beta con i parametri $p = p x$ e $q = p y$

[modifica] Variabile casuale F di Snedecor

Variabile casuale F di Snedecor

[modifica] Variabile casuale Lambda di Wilks

Siano date le n v.c. distribuite come una v.c. Beta

$u_i \sim B\left(\frac{m+i-p}{2},\frac{p}{2}\right)$

allora

$\prod_{i=1}^n u_i \sim \Lambda(p,m,n).$

dove $Λ(p, m, n)$ è una variabile casuale Lambda di Wilks.

Dal che si ottiene la v.c. Beta come un caso particolare della Lambda di Wilks, in quanto

$\Lambda(p,m,1) \sim B\left(\frac{m+1-p}{2},\frac{p}{2}\right)$

[modifica] La v.c. Beta nell'inferenza bayesiana

La v.c. Beta svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana in quanto per alcune v.c. è sia la distribuzione a priori che la distribuzione a posteriori (con parametri diversi) dei parametri di tali v.c.

[modifica] Priori coniugati e la v.c. Binomiale

Se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

f (x | π) = B i n o m (x | n;π)

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

g (π) = B e t a (π | a; b)

allora il parametro π è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

g (π | x) = B e t a (π | a + x; b + n - x)

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

$g(\pi|x)=(n+1) {n \choose k} \pi^k (1-\pi)^{n+k}$

che ha come valore modale p (e dunque come valore più probabile)

p=k/n

[modifica] Priori coniugati e la v.c. binomiale negativa

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

f (x | θ) = B i n N e g (x | m;θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

g (θ) = B e t a (θ | a; b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

g (θ | x) = B e t a (θ | a + m; b + x)

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibilii valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t (e dunque come valore più probabile)

t=m/(m+x)

[modifica] Voci correlate

statistica, probabilità
v.c. rettangolare, v.c. geometrica, v.c. binomiale
variabile casuale di Kumaraswamy, una v.c. limitata che assomiglia alla Beta
Variabile casuale Lambda di Wilks

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Categoria: Variabili casuali

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